統計應用｜單元 4：抽樣分配與中央極限定理——從一個樣本看見整個母體

SuhsiungAI學習教室　授課教師：蘇志雄
適用對象：大學部・統計初學者　實作工具：Python（numpy、scipy.stats、pandas、matplotlib）
預估學習時間：講義閱讀 80 分鐘＋實作 90 分鐘
← 上一單元：單元 3：機率與常見分配——用數字描述不確定性

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本單元學習目標

完成本單元後，你將能夠：

1. 區分母體與樣本、參數與統計量，並說清楚母體分配、樣本資料分配、抽樣分配三者的差別。
2. 說明樣本平均數 x̄ 的抽樣分配：它的中心是 μ、標準差是 σ／√n。
3. 理解標準誤（Standard Error, SE）的意義，並區分「標準差」與「標準誤」；知道「樣本數變 4 倍，標準誤才減半」。
4. 陳述中央極限定理（CLT），並用 numpy 模擬指數分配、卜瓦松分配、students.csv 睡眠時數等非常態母體，親眼看到 x̄ 的分配隨 n 變大而接近常態。
5. 計算樣本比例 p̂ 的抽樣分配與標準誤，解釋「民調 1,068 份樣本、誤差 ±3%」的由來，並檢查 np ≥ 10、n(1 − p) ≥ 10 的條件。
6. 初步認識 t 分配：為什麼 σ 未知、改用樣本標準差 s 時，臨界值要比 1.96 大。
7. 判斷中央極限定理什麼時候會失靈：樣本太小又嚴重偏態、厚尾分配（如柯西分配）、資料不獨立或抽樣有偏差。

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一、為什麼要學抽樣分配？

單元 3 用機率分配描述「一個個體」的不確定性，例如一位同學的身高、一個月捷運誤點的天數。但真實的統計工作幾乎都是：手上只有一個樣本，卻想知道整個母體。

• 🗳️ 民調樣本數：全台灣約 1,900 多萬名選民，民調只訪問約 1,000 人，為什麼敢說「誤差在 ±3 個百分點以內」？
• 🧋 手搖飲杯量抽檢：店家標示「大杯 700 mL」，稽查人員只抽 9 杯量一量，就能判斷機器是否裝太少嗎？
• 🚌 通勤時間：學校想知道全校學生平均通勤多久，隨機問 64 位同學得到的平均，離真正的平均會差多少？

這三個問題的共同核心是：如果重新抽一次樣本，答案會變多少？描述「統計量在重複抽樣下怎麼變動」的，就是本單元的主角——抽樣分配。

💡 重點觀念：抽樣分配是「機率」通往「推論」的最後一塊拼圖。下一單元的信賴區間、之後的假設檢定，都是直接站在抽樣分配與中央極限定理的肩膀上。

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二、母體、樣本與三種分配

1. 參數與統計量

⚠️ 參數是固定的，統計量是隨機的。全校的 μ 只有一個值（只是我們不知道）；但換一批同學，x̄ 就會不一樣。正因為 x̄ 是「隨機變數」，它才有自己的機率分配。

2. 三種分配，千萬別搞混

抽樣分配是「想像中的」分配：現實中我們只會抽一次樣本，但可以用理論（本單元的公式與 CLT）或電腦模擬（重複抽樣很多次）把它找出來。儲存格 2 會把 students.csv 的 30 人當成一個小母體，實際重複抽樣給你看。

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三、樣本平均數的抽樣分配與標準誤

1. x̄ 的平均數與標準差

從平均數 μ、標準差 σ 的母體中，隨機抽出 n 個獨立的觀察值，樣本平均數 x̄ 的抽樣分配滿足：

• 中心：E(x̄) ＝ μ——x̄ 不會系統性地高估或低估 μ，稱為不偏（unbiased）。
• 離散程度：SD(x̄) ＝ σ ／ √n——n 越大，x̄ 越集中在 μ 附近。

這個 σ／√n 就叫做 x̄ 的標準誤（Standard Error, SE）。

2. 標準差 vs. 標準誤

💡 √n 法則：SE 與 √n 成反比，所以樣本數變 4 倍，SE 才減半；要把誤差縮小到十分之一，樣本數得變成 100 倍。這也是為什麼民調很少做到上萬份——成本增加很多，精確度卻只改善一點點。

例：通勤時間（教學用假設）。假設全校學生的單程通勤時間平均 μ ＝ 30 分鐘、標準差 σ ＝ 30 分鐘（右偏，少數同學通勤很久）。

儲存格 3 會用模擬驗證這張表。

3. 母體是常態時：x̄ 也「剛好」是常態

若母體本身就是常態分配 N(μ, σ²)，則不論 n 多小，x̄ 都剛好服從 N(μ, σ²／n)。

例：手搖飲杯量抽檢（教學用假設）。某店大杯標示 700 mL，實際裝填量 ~ N(700, 15²)：

• 單杯少於 690 mL 的機率：z ＝ (690 − 700)／15 ≈ −0.67，約 25%——單杯不足很常見。
• 抽 9 杯的平均：SE ＝ 15／√9 ＝ 5 mL，z ＝ (690 − 700)／5 ＝ −2，P(x̄ ＜ 690) 只有約 2.3%。

所以「某一杯少了 10 mL」不代表機器有問題，但「9 杯平均少了 10 mL」就很可疑了——這正是抽檢「看平均」的道理（儲存格 7）。

4. 補充：有限母體修正

上面的公式假設各觀察值獨立（取後放回，或母體遠大於樣本）。若從大小 N 的有限母體取後不放回抽 n 個，SE 要乘上有限母體修正因子 √((N − n)／(N − 1))。一般經驗是 n 不超過 N 的 5% 時，修正因子很接近 1，可以忽略；例如民調從上千萬人中抽 1,000 人，完全不需修正。

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四、中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）

1. 定理內容

📌 中央極限定理：從任何平均數為 μ、標準差為 σ（有限）的母體中，隨機抽出 n 個獨立觀察值。當 n 夠大時，不論母體分配長什麼樣子，樣本平均數 x̄ 的抽樣分配都會近似常態分配：

x̄ ≈ N(μ, σ²／n)，也就是 z ＝ (x̄ − μ) ／ (σ／√n) ≈ N(0, 1)

白話來說：個體可以很「歪」，但平均數會很「正」。把很多個獨立的隨機量加起來（或平均起來），各自的偏差會互相抵銷，最後的形狀就會趨近鐘形。這也解釋了單元 3 的問題——為什麼身高、測量誤差這些「由許多小因素累加而成」的量，常常近似常態。

2. 三件事要分清楚

⚠️ 中央極限定理說的是「x̄ 的分配」變常態，不是「樣本資料」變常態。你抽 1,000 位同學的通勤時間，畫出來的直方圖還是右偏的；變成鐘形的，是「很多次抽樣的 x̄」。

3. n 要多大才「夠大」？

課本常說「n ≥ 30」，但這只是經驗法則，真正需要多大，取決於母體有多偏、尾巴有多厚：

一個好用的參考：x̄ 的偏態係數 ＝ 母體偏態 ／ √n。指數分配的偏態是 2，n ＝ 30 時 x̄ 的偏態約 2／√30 ≈ 0.37，仍看得出一點右偏；n ＝ 100 時降到 0.2。儲存格 4～6 會用三種偏態母體實際模擬。

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五、樣本比例的抽樣分配

1. p̂ 其實也是一種平均數

很多問題關心的是「比例」：支持某政策的選民比例、裝填不足的杯數比例、搭捷運通勤的學生比例。若把「是」記為 1、「否」記為 0，樣本比例 p̂ 就是這些 0／1 的平均數，所以 CLT 一樣適用：

• E(p̂) ＝ p
• SE(p̂) ＝ √( p(1 − p) ／ n )
• 當 np ≥ 10 且 n(1 − p) ≥ 10 時，p̂ ≈ N(p, p(1 − p)／n)

（單元 3 學過，n 次試驗中「是」的次數 X ~ B(n, p)，而 p̂ ＝ X／n，所以 SE ＝ √(np(1 − p))／n ＝ √(p(1 − p)／n)。）

2. 民調樣本數：「1,068 份、誤差 ±3%」從哪裡來？

台灣的民調報告常寫「有效樣本 1,068 份，在 95% 信心水準下，抽樣誤差為正負 3 個百分點」。這個數字的來源是：

• 常態分配中間 95% 落在 ±1.96 個標準差之內（單元 3）；
• p ＝ 0.5 時 p(1 − p) ＝ 0.25 最大，是「最保守」的情況；
• 誤差範圍 ＝ 1.96 × √(0.25／n) ＝ 0.03 → n ＝ (1.96／0.03)² × 0.25 ≈ 1,067.1，所以取 1,068 份。

注意這個誤差和母體大小幾乎無關：不論是全台灣還是單一縣市，只要隨機抽 1,068 人，抽樣誤差都約 ±3%。決定精確度的是樣本數，不是「抽了母體的百分之幾」。

⚠️ 「±3%」只包含隨機抽樣誤差。若民調只打市話（年輕人較少接）、拒訪率高、題目有引導性，造成的偏差不會因為樣本數變大而消失。一個樣本 10 萬人的網路自填問卷，可能比 1,068 人的隨機電話民調還不準。實際民調另有抽樣設計與加權方法，本單元只談最基本的簡單隨機抽樣。

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六、t 分配預告與中央極限定理的限制

1. σ 未知怎麼辦？——t 分配

前面的 z ＝ (x̄ − μ)／(σ／√n) 需要知道母體標準差 σ，但現實中 σ 和 μ 一樣通常是未知的。很自然的做法是用樣本標準差 s 取代 σ：

t ＝ (x̄ − μ) ／ (s ／ √n)

由於 s 本身也會隨樣本變動（尤其 n 小時），t 的分配比標準常態更分散、尾巴更厚。若母體是常態，t 剛好服從自由度 df ＝ n − 1 的 t 分配：

df 越大，t 分配越接近標準常態。儲存格 9 會示範：n ＝ 5 時，如果誤用 1.96，「超出 ±1.96」的機率會從 5% 變成約 12%。單元 5 的信賴區間會正式使用 t 分配。

2. 中央極限定理什麼時候會失靈？

💡 CLT 不是魔法：它能把「形狀」修正成常態，但修正不了「偏差」與「不獨立」。使用之前先問三個問題：樣本是隨機的嗎？觀察值獨立嗎？以母體的偏態而言，n 夠大嗎？

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七、Python 實作：用模擬「看見」抽樣分配

範例資料說明

本單元繼續使用單元 1～3 的 students.csv：30 位學生的「虛構」問卷資料（由程式隨機產生，非真實個資，人物與數值皆為虛構）。我們把這 30 人的 sleep_hours（睡眠時數）當成一個小母體，實際重複抽樣，觀察 x̄ 的抽樣分配；練習題會用到 drinks_per_week（每週手搖飲杯數）。通勤時間、手搖飲裝填量、民調支持率、手搖飲店來客數等例子則用教學用假設的理論分配，以 numpy 模擬。

📥 下載範例資料：students.csv　｜　📥 完整程式碼：unit04.py

環境準備

本單元使用的套件和單元 3 相同。Google Colab 已內建；若在自己電腦執行，請先安裝：

pip install numpy scipy pandas matplotlib

把 students.csv 和程式放在同一個資料夾（使用 Colab 的同學，請先點左側📁圖示上傳 students.csv）。下面每一個程式區塊可以當成 Notebook 的一個儲存格（cell），請依序執行——因為所有模擬共用同一個亂數產生器，跳著執行會得到不同的數字。

儲存格 1：匯入套件、設定中文字型，並把睡眠時數當成「母體」

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 讓圖表可以顯示繁體中文（依序嘗試 Windows / macOS / Linux 的字型）
plt.rcParams["font.sans-serif"] = [
    "Microsoft JhengHei", "PingFang TC", "Noto Sans CJK TC",
    "Noto Serif CJK TC", "Arial Unicode MS", "DejaVu Sans",
]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 讓負號正常顯示

pd.set_option("display.unicode.east_asian_width", True)
pd.set_option("display.width", 160)

# 固定種子，讓每次執行的模擬結果都一樣
rng = np.random.default_rng(2026)

df = pd.read_csv("students.csv", encoding="utf-8-sig")
sleep = df["sleep_hours"].to_numpy()
N = len(sleep)
mu = sleep.mean()
sigma = sleep.std(ddof=0)          # 把 30 人當成「母體」→ 用母體標準差（除以 N）
print(f"母體大小 N = {N}")
print(f"母體平均 μ = {mu:.4f} 小時，母體標準差 σ = {sigma:.4f} 小時")
print(f"母體偏態係數 = {stats.skew(sleep):.3f}（負值代表左偏）")

執行結果：

母體大小 N = 30
母體平均 μ = 6.6867 小時，母體標準差 σ = 0.8709 小時
母體偏態係數 = -0.793（負值代表左偏）

說明：

• 這裡刻意把 30 位同學當成整個母體，所以 μ ＝ 6.6867 小時、σ ＝ 0.8709 小時是「已知的參數」。現實中我們不會知道母體參數；但先在「答案已知」的情況下練習，才能檢查抽樣分配的理論對不對。
• 因為是母體，標準差用 std(ddof=0)（除以 N）。單元 2、3 把這 30 人當成樣本時用的是 ddof=1（除以 n − 1），得到 0.8858；兩者差異來自分母不同。
• 偏態係數 −0.793 代表左偏：大多數同學睡 6～8 小時，但有少數幾位只睡 4.5～5 小時，把左尾拉長。

儲存格 2：同一個母體，每次抽樣的 x̄ 都不一樣——抽樣分配

# 從 30 人中隨機抽 n = 5 人（取後不放回），重複 5 次，看看樣本平均數會不會一樣
n = 5
for i in range(1, 6):
    idx = rng.choice(N, size=n, replace=False)
    s = sleep[idx]
    print(f"第 {i} 次抽樣：{s}　→ x̄ = {s.mean():.2f}，s = {s.std(ddof=1):.2f}")

# 重複抽 10,000 次，收集 10,000 個 x̄ → 這就是 x̄ 的「抽樣分配」（模擬版）
xbars = np.array([sleep[rng.choice(N, size=n, replace=False)].mean() for _ in range(10_000)])
fpc = np.sqrt((N - n) / (N - 1))   # 有限母體修正因子（取後不放回時使用）
print(f"\n10,000 個 x̄ 的平均 = {xbars.mean():.4f}（母體 μ = {mu:.4f}）")
print(f"10,000 個 x̄ 的標準差 = {xbars.std():.4f}")
print(f"理論 SE = σ/√n × √((N−n)/(N−1)) = {sigma / np.sqrt(n):.4f} × {fpc:.4f} = {sigma / np.sqrt(n) * fpc:.4f}")

執行結果：

第 1 次抽樣：[6.5 6.4 7.4 4.5 6.6]　→ x̄ = 6.28，s = 1.07
第 2 次抽樣：[6.4 4.5 7.7 8.1 7.5]　→ x̄ = 6.84，s = 1.45
第 3 次抽樣：[6.7 7.4 7.2 7.  4.8]　→ x̄ = 6.62，s = 1.05
第 4 次抽樣：[6.6 6.4 7.9 7.7 6.5]　→ x̄ = 7.02，s = 0.72
第 5 次抽樣：[6.4 7.1 6.9 7.4 7.7]　→ x̄ = 7.10，s = 0.49

10,000 個 x̄ 的平均 = 6.6894（母體 μ = 6.6867）
10,000 個 x̄ 的標準差 = 0.3637
理論 SE = σ/√n × √((N−n)/(N−1)) = 0.3895 × 0.9285 = 0.3616

說明：

• 同樣從這 30 人中抽 5 人，5 次得到的 x̄ 從 6.28 到 7.10 都有——統計量是隨機的。第 1、2 次都剛好抽到只睡 4.5 小時的同學，x̄ 就被拉低。
• 重複 10,000 次後，10,000 個 x̄ 的平均 6.6894 幾乎等於 μ ＝ 6.6867，驗證了 E(x̄) ＝ μ。
• 10,000 個 x̄ 的標準差 0.3637，和理論 SE 0.3616 非常接近。因為這裡是取後不放回、而且 n ＝ 5 占了母體 30 人的 1／6，所以要乘上有限母體修正因子 0.9285；若沒修正，σ／√n ＝ 0.3895 會高估。
• rng.choice(N, size=n, replace=False) 抽出的是「第幾位同學」（索引），再用 sleep[idx] 取出對應的睡眠時數。

儲存格 3：標準誤——通勤時間的 σ／√n

# 通勤時間（教學假設）：右偏，以指數分配近似，平均 μ = 30 分鐘、標準差 σ = 30 分鐘
mu_c, sigma_c = 30, 30
rows = []
for n in [1, 4, 16, 64, 100]:
    sample_means = rng.exponential(scale=mu_c, size=(20_000, n)).mean(axis=1)
    rows.append({"n": n,
                 "理論 SE = σ/√n": sigma_c / np.sqrt(n),
                 "模擬 x̄ 的標準差": sample_means.std(),
                 "模擬 x̄ 的平均": sample_means.mean()})
print(pd.DataFrame(rows).round(3).to_string(index=False))

執行結果：

  n  理論 SE = σ/√n  模擬 x̄ 的標準差  模擬 x̄ 的平均
  1           30.00            30.113          29.719
  4           15.00            15.007          29.802
 16            7.50             7.493          29.981
 64            3.75             3.745          29.979
100            3.00             3.018          30.009

說明：

• rng.exponential(scale=30, size=(20_000, n)) 一次產生 20,000 列、每列 n 個通勤時間（教學假設：指數分配，μ ＝ σ ＝ 30 分鐘），.mean(axis=1) 對每一列取平均，就得到 20,000 個 x̄。這種「一列一個樣本」的寫法比 for 迴圈快很多。
• 模擬 x̄ 的標準差（30.113、15.007、7.493、3.745、3.018）和理論 SE（30、15、7.5、3.75、3）幾乎一樣：n 每變 4 倍，SE 就減半。
• 不論 n 多少，x̄ 的平均都在 30 附近，再次驗證 x̄ 是 μ 的不偏估計。
• 問 64 位同學，平均通勤時間的 SE 約 3.75 分鐘；依常態近似，x̄ 大約有 95% 的機會落在 30 ± 1.96 × 3.75，也就是約 22.7～37.3 分鐘之間。

儲存格 4：中央極限定理——從強烈右偏的指數母體出發

# 中央極限定理：指數母體（偏態 = 2）的 x̄，隨 n 增加越來越像常態
rows = []
for n in [1, 2, 5, 10, 30, 100]:
    m = rng.exponential(scale=mu_c, size=(20_000, n)).mean(axis=1)
    se = sigma_c / np.sqrt(n)
    rows.append({"n": n,
                 "x̄ 偏態（理論 2/√n）": 2 / np.sqrt(n),
                 "x̄ 偏態（模擬）": stats.skew(m),
                 "P(x̄ > μ+1.645SE) 模擬": (m > mu_c + 1.645 * se).mean(),
                 "常態近似": 0.05})
print(pd.DataFrame(rows).round(4).to_string(index=False))

執行結果：

  n  x̄ 偏態（理論 2/√n）  x̄ 偏態（模擬）  P(x̄ > μ+1.645SE) 模擬  常態近似
  1                2.0000           2.1725                  0.0700      0.05
  2                1.4142           1.3977                  0.0712      0.05
  5                0.8944           0.8442                  0.0655      0.05
 10                0.6325           0.6397                  0.0632      0.05
 30                0.3651           0.3209                  0.0582      0.05
100                0.2000           0.2163                  0.0582      0.05

說明：

• 指數分配本身的偏態係數是 2（強烈右偏）。x̄ 的偏態理論上是 2／√n：模擬值（2.17、1.40、0.84、0.64、0.32、0.22）大致跟著理論值一路下降，n ＝ 100 時只剩約 0.2，形狀已經很接近對稱的常態。（偏態係數本身對極端值很敏感，所以模擬值會有些波動。）
• 第四欄檢查「右尾 5%」：若 x̄ 真的是常態，x̄ 超過 μ ＋ 1.645 SE 的機率應是 0.05。n ＝ 1 時實際是 0.0700，n ＝ 5 是 0.0655，n ＝ 30、100 降到 0.0582——越來越接近 0.05，但 n ＝ 100 仍有一點偏差。母體越偏，CLT 收斂得越慢。
• 實務意義：如果通勤時間真的這麼右偏，只問 5 位同學就用常態分配算機率，誤差會比較明顯；問到 30 人以上，常態近似就相當堪用。

儲存格 5：卜瓦松母體——手搖飲店每分鐘來客數

# 手搖飲店每分鐘進店人數（教學假設）~ Poisson(0.7)：離散、右偏
lam = 0.7
print("母體 P(X = k)：", np.round(stats.poisson.pmf(np.arange(5), lam), 4))
print(f"母體 μ = {lam}，σ = √λ = {np.sqrt(lam):.4f}，偏態 = 1/√λ = {1 / np.sqrt(lam):.4f}")
for n in [5, 30, 60]:
    m = rng.poisson(lam, size=(20_000, n)).mean(axis=1)     # n 分鐘的平均進店人數
    print(f"n = {n:>2}：x̄ 平均 = {m.mean():.4f}，x̄ 標準差 = {m.std():.4f}"
          f"（理論 {np.sqrt(lam / n):.4f}），偏態 = {stats.skew(m):.3f}，"
          f"不同 x̄ 值的個數 = {len(np.unique(m))}")

執行結果：

母體 P(X = k)： [0.4966 0.3476 0.1217 0.0284 0.005 ]
母體 μ = 0.7，σ = √λ = 0.8367，偏態 = 1/√λ = 1.1952
n =  5：x̄ 平均 = 0.6990，x̄ 標準差 = 0.3769（理論 0.3742），偏態 = 0.573，不同 x̄ 值的個數 = 14
n = 30：x̄ 平均 = 0.7002，x̄ 標準差 = 0.1529（理論 0.1528），偏態 = 0.229，不同 x̄ 值的個數 = 35
n = 60：x̄ 平均 = 0.7011，x̄ 標準差 = 0.1072（理論 0.1080），偏態 = 0.134，不同 x̄ 值的個數 = 52

說明：

• 教學假設：某手搖飲店每分鐘進店人數 ~ Poisson(0.7)。母體非常「歪」：約一半（0.4966）的分鐘沒有客人，偏態約 1.20，而且只能取 0, 1, 2, … 等整數。
• 取 n 分鐘的平均來客數：x̄ 的標準差 0.3769、0.1529、0.1072，都和理論 √(λ／n) 吻合；偏態從 0.573（n ＝ 5）降到 0.229（n ＝ 30）、0.134（n ＝ 60），越來越對稱。
• 「不同 x̄ 值的個數」顯示另一個現象：n ＝ 5 時 x̄ 只有 14 種可能的值（0、0.2、0.4…），分配是一格一格的；n ＝ 60 時有 52 種值，看起來就像連續的鐘形。離散的母體，x̄ 也會隨 n 變大而變得「平滑」。

儲存格 6：真實資料版——students.csv 睡眠時數的 x̄

# students.csv 睡眠時數：把 30 人當母體，取後放回抽 n 人，看 x̄ 的分配
rows = []
for n in [1, 2, 5, 15, 30]:
    m = rng.choice(sleep, size=(20_000, n), replace=True).mean(axis=1)
    lo, hi = np.percentile(m, [2.5, 97.5])
    rows.append({"n": n, "x̄ 平均": m.mean(), "x̄ 標準差": m.std(),
                 "理論 σ/√n": sigma / np.sqrt(n), "x̄ 偏態": stats.skew(m),
                 "中間 95% 下限": lo, "中間 95% 上限": hi})
print(pd.DataFrame(rows).round(4).to_string(index=False))
print(f"\n母體 μ ± 1.96σ/√30 = [{mu - 1.96 * sigma / np.sqrt(30):.4f}, {mu + 1.96 * sigma / np.sqrt(30):.4f}]")

執行結果：

 n  x̄ 平均  x̄ 標準差  理論 σ/√n  x̄ 偏態  中間 95% 下限  中間 95% 上限
 1   6.6815     0.8735     0.8709  -0.8071         4.5000         8.1000
 2   6.6895     0.6167     0.6158  -0.5803         5.4000         7.7000
 5   6.6833     0.3895     0.3895  -0.3415         5.8600         7.3600
15   6.6897     0.2253     0.2249  -0.2131         6.2267         7.1133
30   6.6872     0.1593     0.1590  -0.1175         6.3700         6.9867

母體 μ ± 1.96σ/√30 = [6.3750, 6.9983]

說明：

• 這次用 replace=True（取後放回），每次抽取互相獨立，所以 SE 直接就是 σ／√n，不需有限母體修正：模擬的 x̄ 標準差（0.8735、0.6167、0.3895、0.2253、0.1593）和理論值（0.8709、0.6158、0.3895、0.2249、0.1590）幾乎一模一樣。
• 母體左偏（偏態約 −0.81），x̄ 的偏態隨 n 增加一路往 0 靠近：n ＝ 30 時只剩 −0.12，已相當對稱。
• n ＝ 30 時，模擬出的「中間 95%」是 [6.37, 6.99]，和常態近似 μ ± 1.96 σ／√30 ＝ [6.375, 6.998] 幾乎重疊——就算不知道母體長什麼樣子，也能用常態分配描述 x̄，這就是 CLT 的威力。
• 注意 n ＝ 1 時的「x̄」其實就是單一個人，所以中間 95% 是 [4.5, 8.1]，和母體一樣寬。

儲存格 7：手搖飲杯量抽檢——母體是常態時的 x̄

# 手搖飲杯量抽檢（教學假設）：標示 700 mL，實際裝填量 ~ N(700, 15²)
fill_mu, fill_sd = 700, 15
one = stats.norm(fill_mu, fill_sd)
print(f"單杯少於 690 mL 的機率：{one.cdf(690):.4f}")
for n in [4, 9, 25]:
    se = fill_sd / np.sqrt(n)
    print(f"抽 {n:>2} 杯：SE = {se:.2f} mL，P(x̄ < 690) = {stats.norm.cdf(690, fill_mu, se):.6f}")

# 若機器偏移，平均只剩 692 mL：抽 9 杯，x̄ < 695 就判定「需要校正」，抓到的機率？
se9 = fill_sd / np.sqrt(9)
print(f"\n正常機器(μ=700) 被誤判的機率 P(x̄ < 695) = {stats.norm.cdf(695, 700, se9):.4f}")
print(f"偏移機器(μ=692) 被抓到的機率 P(x̄ < 695) = {stats.norm.cdf(695, 692, se9):.4f}")

執行結果：

單杯少於 690 mL 的機率：0.2525
抽  4 杯：SE = 7.50 mL，P(x̄ < 690) = 0.091211
抽  9 杯：SE = 5.00 mL，P(x̄ < 690) = 0.022750
抽 25 杯：SE = 3.00 mL，P(x̄ < 690) = 0.000429

正常機器(μ=700) 被誤判的機率 P(x̄ < 695) = 0.1587
偏移機器(μ=692) 被抓到的機率 P(x̄ < 695) = 0.7257

說明：

• 教學假設：裝填量 ~ N(700, 15²)。單杯少於 690 mL 的機率約 25%；但 9 杯平均少於 690 mL 的機率只有 0.0228，25 杯更只有 0.0004。看平均比看單杯可靠得多。
• 母體是常態，所以這些機率是精確值，不需要 CLT 的「n 夠大」。
• 後半段是一個簡單的「品管規則」：抽 9 杯，x̄ ＜ 695 mL 就判定機器需要校正。正常機器（μ ＝ 700）被誤判的機率約 0.1587；若機器偏移到 μ ＝ 692，被抓到的機率約 0.7257。誤判與漏抓之間的取捨，正是之後「假設檢定」的型 I、型 II 錯誤。
• stats.norm.cdf(690, 700, se) 的第三個參數要放 SE（x̄ 的標準差），而不是單杯的 σ ＝ 15——這是本單元最常見的錯誤。

儲存格 8：樣本比例——民調樣本數與誤差範圍

# 民調（教學假設）：全體選民中支持某政策的真實比例 p = 0.42
p_true = 0.42
for n in [100, 400, 1068, 2000]:
    p_hat = rng.binomial(n, p_true, size=20_000) / n       # 2 萬次民調的 p̂
    se = np.sqrt(p_true * (1 - p_true) / n)
    print(f"n = {n:>4}：理論 SE = {se:.4f}，模擬 SD(p̂) = {p_hat.std():.4f}，"
          f"1.96×SE = ±{1.96 * se:.2%}，p̂ 落在 p ± 1.96SE 的比例 = {(abs(p_hat - p_true) <= 1.96 * se).mean():.4f}")

# 最保守（p = 0.5）的誤差範圍：為什麼民調常說「1,068 份、誤差 ±3%」
print(f"\np = 0.5、n = 1068：1.96 × √(0.25/1068) = ±{1.96 * np.sqrt(0.25 / 1068):.2%}")
print(f"要誤差 ±3%，最少樣本數 = (1.96/0.03)² × 0.25 = {(1.96 / 0.03) ** 2 * 0.25:.1f}")

# 檢查常態近似的條件 np ≥ 10 且 n(1−p) ≥ 10
for n, p in [(1068, 0.42), (50, 0.02)]:
    print(f"n = {n}, p = {p}：np = {n * p:.1f}，n(1−p) = {n * (1 - p):.1f}")

執行結果：

n =  100：理論 SE = 0.0494，模擬 SD(p̂) = 0.0494，1.96×SE = ±9.67%，p̂ 落在 p ± 1.96SE 的比例 = 0.9486
n =  400：理論 SE = 0.0247，模擬 SD(p̂) = 0.0246，1.96×SE = ±4.84%，p̂ 落在 p ± 1.96SE 的比例 = 0.9528
n = 1068：理論 SE = 0.0151，模擬 SD(p̂) = 0.0151，1.96×SE = ±2.96%，p̂ 落在 p ± 1.96SE 的比例 = 0.9519
n = 2000：理論 SE = 0.0110，模擬 SD(p̂) = 0.0110，1.96×SE = ±2.16%，p̂ 落在 p ± 1.96SE 的比例 = 0.9528

p = 0.5、n = 1068：1.96 × √(0.25/1068) = ±3.00%
要誤差 ±3%，最少樣本數 = (1.96/0.03)² × 0.25 = 1067.1
n = 1068, p = 0.42：np = 448.6，n(1−p) = 619.4
n = 50, p = 0.02：np = 1.0，n(1−p) = 49.0

說明：

• 教學假設：真實支持率 p ＝ 0.42。rng.binomial(n, p, size=20_000) / n 一次模擬 2 萬次民調，每次得到一個 p̂。
• 模擬的 SD(p̂) 和理論 √(p(1 − p)／n) 完全吻合；不論 n ＝ 100 或 2,000，p̂ 落在 p ± 1.96 SE 內的比例都約 95%（0.9486～0.9528），說明常態近似對比例很好用。
• n ＝ 1,068 時，p ＝ 0.42 的誤差約 ±2.96%；用最保守的 p ＝ 0.5 算則剛好是 ±3.00%，反推所需樣本數 1,067.1，無條件進位就是民調常見的 1,068 份。
• 條件檢查：n ＝ 1,068、p ＝ 0.42 時 np ≈ 449，遠大於 10；但若 n ＝ 50、p ＝ 0.02（例如調查罕見的特徵），np 只有 1，常態近似不適用，此時應直接用二項分配計算。

儲存格 9：t 分配預告——用 s 取代 σ 的代價

# t 分配預告：σ 未知、改用樣本標準差 s 時，標準化後的 x̄ 不再是標準常態
n, reps = 5, 50_000
x = rng.normal(fill_mu, fill_sd, size=(reps, n))      # 每次抽 5 杯
xbar = x.mean(axis=1)
s = x.std(axis=1, ddof=1)
z_stat = (xbar - fill_mu) / (fill_sd / np.sqrt(n))    # 用真正的 σ
t_stat = (xbar - fill_mu) / (s / np.sqrt(n))          # 用樣本的 s
print(f"n = {n}：|z| > 1.96 的比例 = {(abs(z_stat) > 1.96).mean():.4f}")
print(f"n = {n}：|t| > 1.96 的比例 = {(abs(t_stat) > 1.96).mean():.4f}")
print(f"t({n - 1}) 理論 P(|T| > 1.96) = {2 * stats.t.sf(1.96, n - 1):.4f}")
print()
for d in [4, 9, 29, 99]:
    print(f"自由度 df = {d:>2}：t 分配中間 95% 的臨界值 = {stats.t.ppf(0.975, d):.3f}（常態為 1.960）")

執行結果：

n = 5：|z| > 1.96 的比例 = 0.0496
n = 5：|t| > 1.96 的比例 = 0.1200
t(4) 理論 P(|T| > 1.96) = 0.1216

自由度 df =  4：t 分配中間 95% 的臨界值 = 2.776（常態為 1.960）
自由度 df =  9：t 分配中間 95% 的臨界值 = 2.262（常態為 1.960）
自由度 df = 29：t 分配中間 95% 的臨界值 = 2.045（常態為 1.960）
自由度 df = 99：t 分配中間 95% 的臨界值 = 1.984（常態為 1.960）

說明：

• 每次從 N(700, 15²) 抽 5 杯，分別用真正的 σ 和樣本的 s 標準化。用 σ 時，|z| ＞ 1.96 的比例是 0.0496，正好約 5%；改用 s 時，|t| ＞ 1.96 的比例變成 0.1200，是兩倍多！
• 這和 t(4) 分配的理論值 0.1216 非常接近：n 小時 s 不穩定，有時會低估 σ，使 t 值變得很大，所以 t 分配的尾巴比常態厚。
• 因此 n ＝ 5 時，要用 t 分配的臨界值 2.776 而不是 1.96；df ＝ 29 時是 2.045，df ＝ 99 時 1.984，已經很接近 1.96。單元 5 會用 stats.t.ppf() 建立信賴區間。

儲存格 10：中央極限定理什麼時候會失靈？

# (a) 小 n ＋ 嚴重偏態：發票獎金（單元 3），抽 1,000 張的平均獎金
prize = np.array([10_000_000, 2_000_000, 200_000, 40_000, 10_000, 4_000, 1_000, 200, 0])
prob = np.array([1, 1, 3, 27, 270, 2_700, 27_000, 270_000, 0]) / 1e8
prob[-1] = 1 - prob.sum()
inv_means = np.array([rng.choice(prize, size=1_000, p=prob).mean() for _ in range(5_000)])
print(f"(a) 1,000 張發票的平均獎金：偏態 = {stats.skew(inv_means):.2f}，"
      f"中位數 = {np.median(inv_means):.2f} 元，平均 = {inv_means.mean():.2f} 元（理論 1.08 元）")

# (b) 厚尾：柯西分配（Cauchy）沒有平均數與變異數，n 再大，x̄ 也不會集中
for n in [10, 100, 1_000]:
    m = rng.standard_cauchy(size=(5_000, n)).mean(axis=1)
    q1, q3 = np.percentile(m, [25, 75])
    print(f"(b) 柯西 n = {n:>5}：x̄ 的四分位距 IQR = {q3 - q1:.3f}，最大 |x̄| = {np.abs(m).max():,.1f}")
for n in [10, 100, 1_000]:
    m = rng.normal(0, 1, size=(5_000, n)).mean(axis=1)
    q1, q3 = np.percentile(m, [25, 75])
    print(f"    常態 n = {n:>5}：x̄ 的四分位距 IQR = {q3 - q1:.3f}")

執行結果：

(a) 1,000 張發票的平均獎金：偏態 = 9.97，中位數 = 0.60 元，平均 = 0.96 元（理論 1.08 元）
(b) 柯西 n =    10：x̄ 的四分位距 IQR = 2.036，最大 |x̄| = 63,885.7
(b) 柯西 n =   100：x̄ 的四分位距 IQR = 1.979，最大 |x̄| = 2,169.2
(b) 柯西 n =  1000：x̄ 的四分位距 IQR = 1.939，最大 |x̄| = 5,357.7
    常態 n =    10：x̄ 的四分位距 IQR = 0.431
    常態 n =   100：x̄ 的四分位距 IQR = 0.137
    常態 n =  1000：x̄ 的四分位距 IQR = 0.043

說明：

• (a) 單元 3 的統一發票獎金極度右偏（絕大多數 0 元，極少數千萬元）。就算每次平均 1,000 張，5,000 個 x̄ 的偏態仍高達約 9.97，中位數 0.60 元遠低於平均 0.96 元——n ＝ 1,000 都還不夠讓 x̄ 變常態。「n ≥ 30」的經驗法則在這裡完全不適用。（模擬平均 0.96 元低於理論 1.08 元，是因為 5,000 × 1,000 ＝ 500 萬張中，特別獎、特獎這種 1／10⁸ 機率的大獎通常一張都抽不到。）
• (b) 柯西分配是一種尾巴非常厚的對稱分配，它的平均數與變異數都不存在，不符合 CLT「σ 有限」的前提。結果：n ＝ 10、100、1,000 時，x̄ 的四分位距都約 2（2.036、1.979、1.939），完全沒有變窄，而且偶爾會出現上千、上萬的極端 x̄。
• 對照組：常態母體的 x̄ 四分位距從 0.431 → 0.137 → 0.043，每次 n 變 10 倍就縮小約 √10 ≈ 3.16 倍，這才是 σ／√n 該有的樣子。
• 實務上，所得、房價、保險理賠、社群貼文的按讚數等資料常有很厚的尾巴，分析它們的平均數時要特別小心，可以考慮改看中位數或先取對數。

儲存格 11：畫出抽樣分配

XB, PH = r"$\bar{x}$", r"$\hat{p}$"   # 用 matplotlib 數學符號顯示 x̄ 與 p̂
fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(15, 8.5))

# 上排：指數母體（通勤時間，教學假設）→ n = 1、5、30 的 x̄ 抽樣分配
for ax, n, color in zip(axes[0], [1, 5, 30], ["#8DA0CB", "#4C72B0", "#1A4E80"]):
    m = rng.exponential(scale=mu_c, size=(20_000, n)).mean(axis=1)
    ax.hist(m, bins=60, density=True, color=color, edgecolor="white")
    se = sigma_c / np.sqrt(n)
    xs = np.linspace(m.min(), m.max(), 300)
    ax.plot(xs, stats.norm.pdf(xs, mu_c, se), color="#C44E52", lw=2, label=f"N({mu_c}, {se:.2f}²)")
    ax.set_title(f"指數母體（μ = σ = 30 分）：n = {n} 的 {XB} 分配\n偏態 = {stats.skew(m):.2f}")
    ax.set_xlabel(f"樣本平均通勤時間 {XB}（分鐘）")
    ax.set_ylabel("密度")
    ax.legend(fontsize=9)

# 左下：睡眠時數母體 vs. n = 30 的 x̄
m_sleep = rng.choice(sleep, size=(20_000, 30), replace=True).mean(axis=1)
axes[1, 0].hist(sleep, bins=8, density=True, color="#CCCCCC", edgecolor="white", label="母體：30 人睡眠時數")
axes[1, 0].hist(m_sleep, bins=40, density=True, color="#55A868", alpha=0.8, label=f"n = 30 的 {XB}")
axes[1, 0].axvline(mu, color="black", linestyle="--", label=f"μ = {mu:.2f}")
axes[1, 0].set_title("左偏的睡眠時數 → " + XB + " 變得對稱又集中")
axes[1, 0].set_xlabel("睡眠時數（小時）")
axes[1, 0].set_ylabel("密度")
axes[1, 0].legend(fontsize=9)

# 中下：民調 n = 1068 的 p̂ 抽樣分配
n_poll = 1068
p_hat = rng.binomial(n_poll, p_true, size=20_000) / n_poll
se_p = np.sqrt(p_true * (1 - p_true) / n_poll)
axes[1, 1].hist(p_hat, bins=40, density=True, color="#FFD966", edgecolor="white", label=f"2 萬次民調的 {PH}")
xs = np.linspace(p_hat.min(), p_hat.max(), 300)
axes[1, 1].plot(xs, stats.norm.pdf(xs, p_true, se_p), color="#C44E52", lw=2, label=f"N(0.42, {se_p:.4f}²)")
for v in [p_true - 1.96 * se_p, p_true + 1.96 * se_p]:
    axes[1, 1].axvline(v, color="gray", linestyle="--")
axes[1, 1].set_title(f"民調 n = {n_poll}：{PH} 的抽樣分配（虛線為 p ± 1.96SE）")
axes[1, 1].set_xlabel(f"樣本支持率 {PH}")
axes[1, 1].set_ylabel("密度")
axes[1, 1].legend(fontsize=9)

# 右下：t 分配 vs. 標準常態
zs = np.linspace(-5, 5, 400)
axes[1, 2].plot(zs, stats.norm.pdf(zs), color="black", lw=2, label="標準常態 N(0, 1)")
axes[1, 2].plot(zs, stats.t.pdf(zs, 4), color="#C44E52", lw=2, linestyle="--", label="t 分配 df = 4")
axes[1, 2].plot(zs, stats.t.pdf(zs, 29), color="#4C72B0", lw=1.5, linestyle=":", label="t 分配 df = 29")
axes[1, 2].set_title("t 分配：中間較矮、尾巴較厚")
axes[1, 2].set_xlabel("t 或 z")
axes[1, 2].set_ylabel("密度")
axes[1, 2].legend(fontsize=9)

plt.tight_layout()
plt.savefig("unit04_charts.png", dpi=120)
plt.show()

說明：

• 上排三張（中央極限定理）：同一個強烈右偏的指數母體（通勤時間，教學假設）。n ＝ 1 時就是母體本身，紅色常態曲線完全對不上；n ＝ 5 時已經有個「峰」，但右尾仍長；n ＝ 30 時長條與常態曲線大致吻合，只剩一點點右偏。也請注意橫軸範圍越來越窄——這就是 SE ＝ σ／√n 變小。
• 左下（真實資料）：灰色是 30 人睡眠時數的母體直方圖，左偏且凹凸不平；綠色是 n ＝ 30 的 x̄，集中在 μ ＝ 6.69 附近、左右對稱，寬度大約只有母體的 1／√30。
• 中下（樣本比例）：2 萬次 n ＝ 1,068 民調的 p̂ 與常態曲線幾乎完全重合；兩條灰色虛線是 p ± 1.96 SE（約 0.39～0.45），大約 95% 的民調結果落在其中。
• 右下（t 分配）：df ＝ 4 的 t 分配（紅色虛線）中間較矮、兩側尾巴明顯較厚；df ＝ 29（藍色點線）已經和標準常態（黑線）幾乎分不出來。

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八、本單元重點整理

• 參數（μ、σ、p）描述母體，固定但未知；統計量（x̄、s、p̂）由樣本算出，會隨樣本改變。
• 抽樣分配是「統計量在所有可能樣本下」的分配，不同於母體分配與樣本資料分配。
• x̄ 的抽樣分配：E(x̄) ＝ μ（不偏），SE ＝ σ／√n；n 變 4 倍，SE 才減半。取後不放回且 n 超過 N 的 5% 時，要乘有限母體修正因子。
• 標準差 vs. 標準誤：標準差描述個體差異，不會因 n 變大而變小；標準誤描述 x̄ 的變動，隨 n 變大而變小。
• 母體是常態 → x̄ 剛好是常態（任何 n）；母體不是常態 → 靠 中央極限定理，n 夠大時 x̄ ≈ N(μ, σ²／n)。
• n 要多大取決於母體的偏態與尾巴：中度偏態約 30；強烈偏態要更多；發票獎金這種極端分配上千都不夠。x̄ 的偏態約為母體偏態／√n。
• 樣本比例：E(p̂) ＝ p，SE ＝ √(p(1 − p)／n)；np ≥ 10 且 n(1 − p) ≥ 10 時可用常態近似。民調「1,068 份、誤差 ±3%」＝ 1.96 × √(0.25／1068)。
• t 分配：σ 未知、改用 s 時，(x̄ − μ)／(s／√n) 服從 df ＝ n − 1 的 t 分配，尾巴比常態厚；df 越大越接近常態。
• CLT 會失靈：n 太小又嚴重偏態、厚尾（柯西分配）、資料不獨立、抽樣有偏差。CLT 修正形狀，修正不了偏差。
• numpy 模擬技巧：rng.xxx(size=(重複次數, n)).mean(axis=1) 一次產生大量 x̄；rng.choice(資料, size=..., replace=True／False) 從真實資料重複抽樣。

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九、課後練習

第 1 題｜標準誤與中央極限定理：通勤時間
（教學用假設）某大學學生的單程通勤時間平均 μ ＝ 40 分鐘、標準差 σ ＝ 12 分鐘，分配略為右偏。隨機抽出 36 位學生：
(a) 樣本平均通勤時間 x̄ 的標準誤是多少？
(b) 用中央極限定理估計 P(x̄ ＞ 43 分鐘)。
(c) 若希望標準誤不超過 1 分鐘，至少要抽多少人？

第 2 題｜民調樣本數
某民調公司想在 95% 信心水準下（使用 1.96），以最保守的 p ＝ 0.5 規劃樣本數：
(a) 誤差範圍要控制在 ±3%、±2%、±1%，各需要多少樣本？
(b) 從 ±2% 改善到 ±1%，樣本數變成幾倍？為什麼？
(c) 若某次民調 n ＝ 1,068、樣本支持率為 42%，用 p̂ ＝ 0.42 計算的誤差範圍是多少？

第 3 題｜手搖飲杯量抽檢
（教學用假設）某店中杯標示 500 mL，實際裝填量 ~ N(505, 8²)。
(a) 隨機抽 1 杯，裝填量少於 500 mL 的機率是多少？
(b) 隨機抽 16 杯，平均裝填量少於 500 mL 的機率是多少？
(c) 16 杯平均的「中間 95%」範圍為何？如果稽查時 16 杯平均只有 498 mL，你會怎麼解讀？

第 4 題｜numpy 模擬：每週手搖飲杯數
把 students.csv 的 30 位同學當成母體，變數為 drinks_per_week（每週喝幾杯手搖飲）。請用 np.random.default_rng(4)，分別以 n ＝ 10 與 n ＝ 40 取後放回抽樣 10,000 次：
(a) 比較 x̄ 的平均與母體 μ、x̄ 的標準差與 σ／√n（σ 用 ddof=0）。
(b) 估計 P(x̄ ≥ 3.5)，並說明為什麼 n ＝ 40 時這個機率小很多。

第 5 題｜觀念題：中央極限定理適用嗎？
判斷下列情況中，用「x̄ 近似常態」來計算機率是否合理，並說明理由：
(a) 從常態母體抽 n ＝ 4，計算 x̄ 的機率。
(b) 某捷運站每小時遺失物件數 ~ Poisson(2)，記錄 200 個小時，計算平均每小時件數的機率。
(c) 調查 8 位同學的「家庭年所得」，用常態分配算平均所得超過某個值的機率。
(d) 在 Facebook 社團貼問卷，回收 5,000 份，用 SE ＝ √(p̂(1 − p̂)／n) 宣稱誤差只有 ±1.4%。
(e) 從柯西分配抽 n ＝ 500，用 x̄ 估計分配的中心。

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十、練習題參考答案

📝 建議先自己作答，再對照答案喔！

第 1 題

import numpy as np
from scipy import stats

mu, sigma, n = 40, 12, 36
se = sigma / np.sqrt(n)
print(f"(a) SE = {sigma} / √{n} = {se:.2f} 分鐘")
print(f"(b) P(x̄ > 43) ≈ {stats.norm.sf(43, mu, se):.4f}")
print(f"(c) 要 SE ≤ 1 分鐘，n ≥ (σ / 1)² = {(sigma / 1) ** 2:.0f}")

執行結果：

(a) SE = 12 / √36 = 2.00 分鐘
(b) P(x̄ > 43) ≈ 0.0668
(c) 要 SE ≤ 1 分鐘，n ≥ (σ / 1)² = 144

(a) SE ＝ σ／√n ＝ 12／√36 ＝ 2 分鐘。
(b) n ＝ 36 夠大、母體只是略為右偏，依 CLT x̄ ≈ N(40, 2²)。z ＝ (43 − 40)／2 ＝ 1.5，P(x̄ ＞ 43) ≈ 0.0668，大約 6.7%。
(c) 12／√n ≤ 1 → √n ≥ 12 → n ≥ 144 人。SE 從 2 分鐘降到 1 分鐘（減半），樣本數要變成 4 倍（36 → 144）。

第 2 題

import numpy as np

for e in [0.03, 0.02, 0.01]:
    n_need = (1.96 / e) ** 2 * 0.25
    print(f"誤差 ±{e:.0%}：n ≥ {n_need:,.1f} → 至少 {int(np.ceil(n_need)):,} 人")
print(f"p̂ = 0.42、n = 1068 的 1.96 × SE = ±{1.96 * np.sqrt(0.42 * 0.58 / 1068):.2%}")

執行結果：

誤差 ±3%：n ≥ 1,067.1 → 至少 1,068 人
誤差 ±2%：n ≥ 2,401.0 → 至少 2,401 人
誤差 ±1%：n ≥ 9,604.0 → 至少 9,604 人
p̂ = 0.42、n = 1068 的 1.96 × SE = ±2.96%

(a) n ＝ (1.96／E)² × 0.25：±3% 需 1,068 人、±2% 需 2,401 人、±1% 需 9,604 人。
(b) 2,401 → 9,604，正好 4 倍：誤差和 √n 成反比，誤差減半，樣本數就要變 4 倍。
(c) 1.96 × √(0.42 × 0.58／1068) ≈ ±2.96%，比最保守的 ±3% 略小——p 離 0.5 越遠，p(1 − p) 越小。

第 3 題

from scipy import stats

mu, sd = 505, 8
print(f"(a) 單杯 P(X < 500) = {stats.norm.cdf(500, mu, sd):.4f}")
se = sd / 16 ** 0.5
print(f"(b) 16 杯 SE = {se:.1f}，P(x̄ < 500) = {stats.norm.cdf(500, mu, se):.4f}")
print(f"(c) 16 杯平均的中間 95% 範圍 = [{mu - 1.96 * se:.2f}, {mu + 1.96 * se:.2f}] mL")

執行結果：

(a) 單杯 P(X < 500) = 0.2660
(b) 16 杯 SE = 2.0，P(x̄ < 500) = 0.0062
(c) 16 杯平均的中間 95% 範圍 = [501.08, 508.92] mL

(a) z ＝ (500 − 505)／8 ＝ −0.625，P(X ＜ 500) ≈ 0.266：單杯不足 500 mL 的情況約四分之一，很常見。
(b) SE ＝ 8／√16 ＝ 2 mL，z ＝ (500 − 505)／2 ＝ −2.5，P(x̄ ＜ 500) ≈ 0.0062，不到 1%。
(c) 中間 95% 約為 501.08～508.92 mL。若 16 杯平均只有 498 mL，在「μ ＝ 505」的假設下這幾乎不可能發生（比 500 還低，機率小於 0.6%），比較合理的解讀是機器的平均裝填量其實低於 505 mL，應該檢查校正。這種「如果假設成立，觀察到這種結果的機率很小，所以懷疑假設」的推理，就是之後假設檢定的核心。

第 4 題

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

df4 = pd.read_csv("students.csv", encoding="utf-8-sig")
drinks = df4["drinks_per_week"].to_numpy()
mu4, sigma4 = drinks.mean(), drinks.std(ddof=0)
rng4 = np.random.default_rng(4)
for n in [10, 40]:
    m = rng4.choice(drinks, size=(10_000, n), replace=True).mean(axis=1)
    print(f"n = {n}：x̄ 平均 = {m.mean():.4f}（μ = {mu4:.4f}），"
          f"x̄ 標準差 = {m.std():.4f}（σ/√n = {sigma4 / np.sqrt(n):.4f}），"
          f"P(x̄ ≥ 3.5) = {(m >= 3.5).mean():.4f}")

執行結果：

n = 10：x̄ 平均 = 2.8567（μ = 2.8667），x̄ 標準差 = 0.6578（σ/√n = 0.6518），P(x̄ ≥ 3.5) = 0.1852
n = 40：x̄ 平均 = 2.8714（μ = 2.8667），x̄ 標準差 = 0.3246（σ/√n = 0.3259），P(x̄ ≥ 3.5) = 0.0292

(a) 兩種 n 之下，x̄ 的平均（2.8567、2.8714）都非常接近 μ ＝ 2.8667；x̄ 的標準差（0.6578、0.3246）也和 σ／√n（0.6518、0.3259）吻合。n 從 10 變成 40（4 倍），標準差大約減半。
(b) n ＝ 10 時 P(x̄ ≥ 3.5) 約 0.185，n ＝ 40 時只剩約 0.029。3.5 杯比 μ 高了約 0.63 杯：n ＝ 10 時這大約是 1 個 SE，相當常見；n ＝ 40 時大約是 2 個 SE，就少見多了。樣本越大，x̄ 越不容易偏離 μ。

第 5 題

(a) 合理。母體是常態時，x̄ 對任何 n 都剛好是常態，n ＝ 4 也沒問題。
(b) 合理。Poisson(2) 的偏態約 1／√2 ≈ 0.71，只是中度右偏；n ＝ 200 很大，x̄ 的偏態約 0.05，常態近似非常好（前提是各小時之間大致獨立）。
(c) 不合理。所得通常強烈右偏、有極端高所得，n ＝ 8 太小，x̄ 仍會明顯右偏；用常態算機率可能誤差很大。可以改看中位數，或蒐集更多樣本。
(d) 不合理。1.96 × √(0.25／5000) ≈ 1.4% 只計算了「隨機抽樣誤差」，但社團自願填答不是隨機樣本，填答者與一般母體可能有系統性差異（偏差），CLT 與 SE 公式都修正不了偏差。樣本再大，也只是「精確地錯」。
(e) 不合理。柯西分配的平均數與變異數都不存在，x̄ 不會隨 n 增加而集中（儲存格 10），n ＝ 500 的 x̄ 和單一觀察值一樣分散。應改用中位數估計它的中心。

💡 小技巧：遇到「這個情況能不能用常態近似？」的問題，先用 numpy 模擬一次抽樣分配、畫出直方圖，看看形狀再決定。這比死記「n ≥ 30」可靠得多。

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下一單元預告

本單元我們站在「已知母體」的角度，問「x̄ 會落在哪裡？」。但真實世界剛好相反：我們只有一個樣本的 x̄，想反過來推論未知的 μ 落在哪裡。既然 x̄ 大約有 95% 的機會落在 μ ± 1.96 SE 之內，那麼「x̄ ± 1.96 SE」這個區間，是不是也大約有 95% 的機會涵蓋 μ？單元 5 將從抽樣分配出發，帶你建立平均數與比例的信賴區間，正式使用 t 分配，並說清楚「95% 信心水準」到底是什麼意思。

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© SuhsiungAI學習教室（suhsiung.com）・統計應用課程・授課教師：蘇志雄。本單元範例資料 students.csv 為教學用虛構資料，與任何真實人物無關；通勤時間、手搖飲裝填量與來客數、民調支持率等例子中的數字，除另有說明外，皆為教學用假設或簡化，不代表任何真實店家、機構或民調結果。