統計應用｜單元 3：機率與常見分配——用數字描述不確定性

SuhsiungAI學習教室　授課教師：蘇志雄
適用對象：大學部・統計初學者　實作工具：Python（numpy、scipy.stats、pandas、matplotlib）
預估學習時間：講義閱讀 80 分鐘＋實作 80 分鐘
← 上一單元：單元 2：敘述統計——用數字與圖表說清楚資料

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本單元學習目標

完成本單元後，你將能夠：

1. 說明試驗、樣本空間、事件的意義，並區分機率的三種觀點：古典機率、相對次數機率、主觀機率。
2. 運用加法規則、餘事件、條件機率、乘法規則計算機率，並判斷兩個事件是否獨立。
3. 用貝氏定理解釋「快篩陽性不一定真的有病」這類反直覺的結果。
4. 區分離散與連續隨機變數，會寫出機率分配表，並計算期望值、變異數與標準差。
5. 判斷什麼情境適用二項分配與卜瓦松分配，並計算相關機率。
6. 理解常態分配的性質與 68–95–99.7 法則，會用 z 分數把任何常態分配轉換成標準常態分配。
7. 使用 scipy.stats 的 pmf()、cdf()、sf()、ppf() 計算機率與分位數，並用 numpy 的 default_rng() 做隨機模擬來驗證理論。

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一、為什麼要學機率？

單元 2 的敘述統計是在描述「已經發生」的資料；但統計更重要的任務，是根據樣本推論母體、對「還沒發生」的事做出合理判斷。而只要談到「推論」，就一定有不確定性——機率就是用來衡量不確定性的語言。

生活中我們每天都在用機率思考：

• 📰 統一發票：每兩個月對一次獎，一張發票到底「值」多少錢？
• 🌀 颱風假：颱風警報一發布，大家就開始猜「明天會不會放假？」
• 🚇 捷運誤點：一個月通勤 20 天，遇到 2 次以上誤點算不算倒楣？
• ☔ 降雨機率：氣象署說「降雨機率 70%」，要不要帶傘？

💡 重點觀念：機率是「敘述統計」通往「推論統計」的橋樑。後面的抽樣分配、信賴區間、假設檢定，全部都建立在本單元的機率分配之上。

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二、機率的基本概念

1. 試驗、樣本空間與事件

2. 機率的三種觀點

相對次數觀點背後有一個重要定理——大數法則（Law of Large Numbers）：試驗次數越多，事件發生的相對次數會越接近真正的機率。擲 10 次骰子可能出現 4 次 6 點，但擲 10 萬次，6 點的比例一定非常接近 1／6。這也是我們可以用電腦模擬來估計機率的理論基礎（儲存格 4 會實際示範）。

3. 機率的基本性質

• 任何事件的機率介於 0 與 1 之間：0 ≤ P(A) ≤ 1。
• 樣本空間的機率為 1：P(S) ＝ 1；不可能事件的機率為 0。
• 餘事件規則：P(Aᶜ) ＝ 1 − P(A)。

💡 「至少一次」的問題，先算「一次都沒有」最快！ 例如：P(一個月至少誤點一次) ＝ 1 − P(一次都沒誤點)。

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三、機率的運算規則

1. 加法規則（Addition Rule）

• 一般情況：P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B) − P(A ∩ B)（減掉重複算的交集）
• 若 A、B 互斥（不可能同時發生，P(A ∩ B) ＝ 0）：P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B)

例：一張發票不可能同時中「二獎」和「六獎」（獎項不重複領取），所以「中二獎或六獎」的機率直接相加即可。

2. 條件機率（Conditional Probability）

「在 B 已經發生的條件下，A 發生的機率」：

P(A | B) ＝ P(A ∩ B) ／ P(B)，其中 P(B) ＞ 0

條件機率的關鍵是「分母變了」：不再是全部的人，而是只看 B 這一群。例如：「全班同學搭捷運的機率」和「女生中搭捷運的機率」是不同的問題——儲存格 2 會用 students.csv 實際計算。

3. 乘法規則與獨立性

• 乘法規則：P(A ∩ B) ＝ P(B) × P(A | B)
• 獨立（Independent）：若 P(A | B) ＝ P(A)，也就是「知道 B 發生，對 A 的機率沒有任何影響」，則 A 與 B 獨立，此時 P(A ∩ B) ＝ P(A) × P(B)。

⚠️ 互斥 ≠ 獨立！ 互斥是「不能同時發生」（P(A ∩ B) ＝ 0）；獨立是「互不影響」。兩個機率都大於 0 的互斥事件一定不獨立——因為知道 A 發生，就確定 B 不會發生了。

4. 貝氏定理（Bayes’ Theorem）簡介

貝氏定理讓我們「倒過來」算條件機率：已知 P(B | A)，求 P(A | B)。

P(A | B) ＝ P(B | A) × P(A) ／ P(B)

經典例子：快篩陽性，真的確診了嗎？（以下數字為教學用假設）

• 某疾病在社區的盛行率 2%：P(患病) ＝ 0.02
• 快篩的敏感度 90%：P(陽性 | 患病) ＝ 0.90
• 快篩的特異度 95%：P(陰性 | 沒病) ＝ 0.95，所以 P(陽性 | 沒病) ＝ 0.05

想像社區有 10,000 人：

P(患病 | 陽性) ＝ 180 ／ 670 ≈ 0.269。快篩陽性的人當中，只有約 27% 真的患病！原因是沒病的人太多，5% 的「假陽性」累積起來（490 人）反而比真陽性（180 人）還多。

💡 貝氏思維：新證據（快篩結果）要和原本的機率（盛行率，稱為「事前機率」）一起考慮，得到更新後的「事後機率」。這也是為什麼醫師常會要求「再做一次 PCR 確認」。

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四、隨機變數、期望值與變異數

1. 隨機變數（Random Variable）

隨機變數是把試驗結果「對應成數字」的規則，通常用大寫 X 表示。

2. 機率分配與期望值

離散隨機變數的機率分配列出每個可能值 x 與其機率 P(X ＝ x)，所有機率加總必須等於 1。

• 期望值（Expected Value，長期平均）：E(X) ＝ μ ＝ Σ x · P(X ＝ x)
• 變異數：Var(X) ＝ σ² ＝ Σ (x − μ)² · P(X ＝ x)，標準差 σ ＝ √σ²

例：一張統一發票「值」多少錢？依財政部現行獎項（不含雲端發票專屬獎），一期有 1 組特別獎、1 組特獎、3 組頭獎號碼（8 位數），二獎～六獎是和頭獎號碼的末 7～末 3 碼相同：

以六獎為例：末 3 碼和某一組頭獎相同的機率是 1／1,000，但要扣掉「末 4 碼也相同」（那就是五獎以上）的情形，所以是 3 ×（1／10³ − 1／10⁴）＝ 27／10⁴ ＝ 0.0027。儲存格 3 會算出：一張發票的期望獎金只有大約 1.08 元，而且中任何獎的機率約 0.3%。

⚠️ 期望值不是「一定會得到」的值，而是「長期平均」。沒有人會剛好中 1.08 元；但如果你對了 100 萬張發票，平均每張大約就是這個數字。獎金實際領取時還須扣稅、印花稅；實際獎項規則請以財政部公告為準。

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五、二項分配與卜瓦松分配

1. 二項分配（Binomial Distribution）

符合下列四個條件時，「n 次試驗中成功的次數 X」服從二項分配，記作 X ~ B(n, p)：

1. 試驗次數 n 固定；
2. 每次只有兩種結果：「成功」或「失敗」；
3. 每次成功的機率 p 都相同；
4. 每次試驗互相獨立。

機率公式：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ，k ＝ 0, 1, …, n

期望值與變異數：E(X) ＝ np，Var(X) ＝ np(1 − p)

例：捷運誤點（教學用假設）。小美每天搭捷運上學，假設每天遇到「誤點 5 分鐘以上」的機率 p ＝ 0.05，各天互相獨立。一個月上學 n ＝ 20 天，誤點天數 X ~ B(20, 0.05)：

• P(整個月都沒遇到誤點) ＝ 0.95²⁰ ≈ 0.358
• 平均每月誤點 E(X) ＝ 20 × 0.05 ＝ 1 天

💡 「成功」只是統計術語，不一定是好事：在這個例子中，「成功」指的是「遇到誤點」。

2. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）

計算「一段固定時間（或空間）內，某事件發生的次數」，且事件隨機、獨立地發生、平均發生率固定時，可用卜瓦松分配，記作 X ~ Poisson(λ)：

機率公式：P(X ＝ k) ＝ λᵏ e^(−λ) ／ k!，k ＝ 0, 1, 2, …

E(X) ＝ Var(X) ＝ λ（期望值和變異數相等，是卜瓦松分配的招牌特徵）

例：颱風。依中央氣象署長期統計，台灣平均每年約有 3～4 個颱風侵台。本單元以 λ ＝ 3.5 作為教學假設，則 P(一年完全沒有颱風侵台) ＝ e^(−3.5) ≈ 0.030，大約 33 年才遇到一次。

💡 二項 ↔ 卜瓦松：當 n 很大、p 很小（例如 n ≥ 20 且 p ≤ 0.05），B(n, p) 可以用 Poisson(λ ＝ np) 近似。例如收集 200 張發票，中六獎的張數 ≈ Poisson(200 × 0.0027 ＝ 0.54)，儲存格 7 會驗證。

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六、常態分配、標準常態與 z 分數

1. 連續分配：面積就是機率

連續隨機變數用機率密度函數（PDF）描述，曲線下的面積代表機率，總面積 ＝ 1。因此：

• P(a ≤ X ≤ b) ＝ 曲線在 a 到 b 之間的面積
• 連續變數「剛好等於某一個值」的機率是 0，例如 P(身高剛好 ＝ 165.000… 公分) ＝ 0；所以 P(X ≤ b) 和 P(X ＜ b) 相同。

2. 常態分配（Normal Distribution）

常態分配是統計學中最重要的分配，記作 X ~ N(μ, σ²)，由平均數 μ 決定中心位置、標準差 σ 決定胖瘦。它的性質：

• 呈鐘形、左右對稱，平均數 ＝ 中位數 ＝ 眾數；
• 兩側尾巴無限延伸，但越往外機率越小；
• 很多自然與社會現象近似常態：身高、測量誤差、大型考試成績……（單元 4 的中央極限定理會解釋為什麼常態分配這麼常見）。

68–95–99.7 法則（經驗法則）：

例：若大一男生身高 ~ N(172, 6²)，大約 95% 的人身高落在 172 ± 12，也就是 160～184 公分之間。

3. 標準常態分配與 z 分數

標準常態分配是 μ ＝ 0、σ ＝ 1 的常態分配，記作 Z ~ N(0, 1)。任何常態分配都可以用 z 分數轉換過去：

z ＝ (x − μ) ／ σ

z 分數就是單元 2 學過的「離平均數幾個標準差」。轉換之後，所有常態分配的問題都變成同一張標準常態表（或一行 scipy.stats.norm.cdf()）就能解決。

例：期中考成績。某科期中考成績近似 N(62, 10²)，你考 78 分：z ＝ (78 − 62) ／ 10 ＝ 1.6，查表 P(Z ≤ 1.6) ≈ 0.945，代表你大約贏過 94.5% 的同學（PR 約 94）。

4. scipy.stats 常用函數

⚠️ 離散分配用 sf() 要特別小心「≥」與「＞」：binom.sf(1, n, p) 是 P(X ＞ 1)，也就是 P(X ≥ 2)。連續分配則沒有這個問題。

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七、Python 實作：用 numpy 與 scipy.stats 計算與模擬

範例資料說明

本單元繼續使用單元 1、2 的 students.csv：30 位學生的「虛構」問卷資料（由程式隨機產生，非真實個資，人物與數值皆為虛構）。我們會用 gender（性別）、commute（通勤方式）計算條件機率與二項分配，用 height_cm（身高）檢驗常態模型；其他例子（發票、颱風、捷運誤點）則用理論分配與 numpy 模擬。

📥 下載範例資料：students.csv　｜　📥 完整程式碼：unit03.py

環境準備

本單元新增 numpy（數值運算與隨機模擬）與 scipy（scipy.stats 提供各種機率分配）。Google Colab 已內建這些套件；若在自己電腦執行，請先安裝：

pip install numpy scipy pandas matplotlib

把 students.csv 和程式放在同一個資料夾（使用 Colab 的同學，請先點左側📁圖示上傳 students.csv）。下面每一個程式區塊可以當成 Notebook 的一個儲存格（cell），請依序執行。

儲存格 1：匯入套件、設定中文字型與亂數產生器

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 讓圖表可以顯示繁體中文（依序嘗試 Windows / macOS / Linux 的字型）
plt.rcParams["font.sans-serif"] = [
    "Microsoft JhengHei", "PingFang TC", "Noto Sans CJK TC",
    "Noto Serif CJK TC", "Arial Unicode MS", "DejaVu Sans",
]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 讓負號正常顯示

pd.set_option("display.unicode.east_asian_width", True)
pd.set_option("display.width", 160)

# 建立亂數產生器；固定種子（seed）讓每次執行的模擬結果都一樣
rng = np.random.default_rng(2026)
print("numpy 隨機整數示範：", rng.integers(1, 7, size=10))

執行結果：

numpy 隨機整數示範： [6 2 1 4 3 3 1 3 4 3]

說明：

• from scipy import stats 之後，就能用 stats.binom（二項）、stats.poisson（卜瓦松）、stats.norm（常態）等分配。
• np.random.default_rng(2026) 建立一個亂數產生器，2026 是種子（seed）。同一個種子會產生同一串「隨機」數字，方便別人重現你的結果。若拿掉種子，每次執行結果都會不同。
• rng.integers(1, 7, size=10) 模擬擲 10 次骰子：產生 1～6 的整數（不含 7，和 Python 的 range() 一樣是左閉右開）。

儲存格 2：用 students.csv 計算加法規則、條件機率與獨立性

df = pd.read_csv("students.csv", encoding="utf-8-sig")
n = len(df)

# 交叉表：性別 × 通勤方式（加上合計）
print(pd.crosstab(df["gender"], df["commute"], margins=True, margins_name="合計"))

female = df["gender"] == "女"
mrt = df["commute"] == "捷運"

p_f = female.mean()                    # P(女)
p_m = mrt.mean()                       # P(捷運)
p_f_and_m = (female & mrt).mean()      # P(女 ∩ 捷運)
p_f_or_m = (female | mrt).mean()       # P(女 ∪ 捷運)，直接數
print(f"\nP(女) = {p_f:.4f}，P(捷運) = {p_m:.4f}，P(女 ∩ 捷運) = {p_f_and_m:.4f}")
print(f"P(女 ∪ 捷運) 直接數      = {p_f_or_m:.4f}")
print(f"P(女 ∪ 捷運) 用加法規則  = {p_f + p_m - p_f_and_m:.4f}")

# 條件機率：分母只看「女生」或「男生」
p_m_given_f = (female & mrt).sum() / female.sum()
p_m_given_male = (~female & mrt).sum() / (~female).sum()
print(f"\nP(捷運 | 女) = {p_m_given_f:.4f}")
print(f"P(捷運 | 男) = {p_m_given_male:.4f}")
print(f"P(女) × P(捷運) = {p_f * p_m:.4f}  vs.  P(女 ∩ 捷運) = {p_f_and_m:.4f}")

執行結果：

commute  公車  捷運  機車  步行  自行車  合計
gender                                       
女          4     6     4     2       1    17
男          3     2     7     1       0    13
合計        7     8    11     3       1    30

P(女) = 0.5667，P(捷運) = 0.2667，P(女 ∩ 捷運) = 0.2000
P(女 ∪ 捷運) 直接數      = 0.6333
P(女 ∪ 捷運) 用加法規則  = 0.6333

P(捷運 | 女) = 0.3529
P(捷運 | 男) = 0.1538
P(女) × P(捷運) = 0.1511  vs.  P(女 ∩ 捷運) = 0.2000

說明：

• 布林值（True／False）取 .mean() 就是「True 所占的比例」，也就是相對次數機率。& 是「且」（交集）、| 是「或」（聯集）、~ 是「非」（餘事件）。
• 直接數出來的 P(女 ∪ 捷運) 和用加法規則算的完全相同（19／30），驗證了「要減掉交集」：6 位搭捷運的女生如果不扣掉，會被算兩次。
• 在這 30 人中，P(捷運 | 女) ≈ 0.35，明顯高於 P(捷運 | 男) ≈ 0.15，也不等於 P(捷運) ≈ 0.27；P(女) × P(捷運) ≈ 0.151 也不等於 P(女 ∩ 捷運) ＝ 0.2。所以在這份資料中，性別與是否搭捷運不獨立。
• ⚠️ 不過樣本只有 30 人，這個差異可能只是隨機波動；要推論到全校，需要後面單元的卡方獨立性檢定。

儲存格 3：隨機變數的期望值——一張統一發票值多少錢？

invoice = pd.DataFrame({
    "獎項": ["特別獎", "特獎", "頭獎", "二獎", "三獎", "四獎", "五獎", "六獎"],
    "獎金": [10_000_000, 2_000_000, 200_000, 40_000, 10_000, 4_000, 1_000, 200],
    "機率": np.array([1, 1, 3, 27, 270, 2_700, 27_000, 270_000]) / 1e8,
})
invoice["獎金×機率"] = invoice["獎金"] * invoice["機率"]
print(invoice.to_string(index=False))

p_win = invoice["機率"].sum()
x = np.append(invoice["獎金"].to_numpy(), 0)          # 加上「沒中獎」0 元
p = np.append(invoice["機率"].to_numpy(), 1 - p_win)
ev = (x * p).sum()                                    # E(X) = Σ x·P(x)
sd = np.sqrt(((x - ev) ** 2 * p).sum())               # σ = √Σ(x−μ)²·P(x)
print(f"\n機率總和 = {p.sum():.6f}")
print(f"一張發票中任何獎的機率 = {p_win:.6f}（約每 {1 / p_win:.0f} 張中 1 張）")
print(f"期望值 E(X) = {ev:.4f} 元，標準差 σ = {sd:,.1f} 元")
print(f"期望值中，六獎就貢獻了 {invoice['獎金×機率'].iloc[-1] / ev:.1%}")

執行結果：

  獎項     獎金         機率  獎金×機率
特別獎 10000000 1.000000e-08     0.1000
  特獎  2000000 1.000000e-08     0.0200
  頭獎   200000 3.000000e-08     0.0060
  二獎    40000 2.700000e-07     0.0108
  三獎    10000 2.700000e-06     0.0270
  四獎     4000 2.700000e-05     0.1080
  五獎     1000 2.700000e-04     0.2700
  六獎      200 2.700000e-03     0.5400

機率總和 = 1.000000
一張發票中任何獎的機率 = 0.003000（約每 333 張中 1 張）
期望值 E(X) = 1.0818 元，標準差 σ = 1,021.1 元
期望值中，六獎就貢獻了 49.9%

說明：

• 機率總和為 1，代表這是一個合法的機率分配。中任何獎的機率約 0.3%，大約每 333 張發票才中 1 張（而且幾乎都是 200 元的六獎）。
• 期望值約 1.08 元：長期來看，平均一張發票只值 1 元多一點。其中光是六獎（200 元 × 0.0027 ＝ 0.54 元）就貢獻了一半。
• 標準差高達一千多元，遠大於期望值：因為絕大多數發票是 0 元，極少數是千萬元，分配極度右偏——這和單元 2 的薪資資料一樣，平均數會被極端值拉走。

儲存格 4：大數法則——用 numpy 模擬擲骰子與對發票

# (a) 擲骰子：擲越多次，6 點的比例越接近 1/6 ≈ 0.1667
rolls = rng.integers(1, 7, size=100_000)
for k in [10, 100, 1_000, 10_000, 100_000]:
    first_k = rolls[:k]
    print(f"擲 {k:>7,} 次：6 點比例 = {(first_k == 6).mean():.4f}，平均點數 = {first_k.mean():.4f}")
print("理論值：      6 點機率 = 0.1667，期望點數 = 3.5000")

# (b) 模擬對 100 萬張發票
sim = rng.choice(x, size=1_000_000, p=p)
print(f"\n模擬 1,000,000 張發票：中獎比例 = {(sim > 0).mean():.6f}，平均每張獎金 = {sim.mean():.4f} 元")
print(pd.Series(sim[sim > 0]).value_counts().sort_index(ascending=False))

執行結果：

擲      10 次：6 點比例 = 0.2000，平均點數 = 4.1000
擲     100 次：6 點比例 = 0.1400，平均點數 = 3.4700
擲   1,000 次：6 點比例 = 0.1680，平均點數 = 3.4630
擲  10,000 次：6 點比例 = 0.1697，平均點數 = 3.5061
擲 100,000 次：6 點比例 = 0.1656，平均點數 = 3.4942
理論值：      6 點機率 = 0.1667，期望點數 = 3.5000

模擬 1,000,000 張發票：中獎比例 = 0.002991，平均每張獎金 = 1.0644 元
40000       2
10000       3
4000       38
1000      266
200      2682
Name: count, dtype: int64

說明：

• (a) 只擲 10 次時，6 點的比例是 0.20、平均 4.1 點，和理論值有明顯落差；擲到 10 萬次，6 點比例 0.1656、平均 3.49 點，都非常接近理論值——這就是大數法則，也是「相對次數機率」的基礎。注意中間（1,000 → 10,000 次）的數字不一定「每次都更接近」，大數法則說的是長期趨勢。
• (b) rng.choice(x, size=..., p=p) 依照機率分配 p 從 x 中抽樣，模擬「對 100 萬張發票」。中獎比例 0.002991 和儲存格 3 的理論值 0.0030 非常接近；六獎 2,682 張、五獎 266 張，也接近期望張數 2,700 與 270。
• 這次模擬的平均獎金 1.06 元看起來很接近理論值 1.08 元，但其實有點「幸運」：100 萬張中特別獎、特獎、頭獎一張都沒抽到（期望張數只有 0.01、0.01、0.03 張），卻抽到 2 張二獎（期望只有 0.27 張），兩者剛好互相抵銷。換一個種子，平均數可能差很多——只要多抽中一張頭獎，平均就會增加 0.2 元。極度右偏的分配，需要非常多次模擬，平均數才會穩定。

儲存格 5：貝氏定理——快篩陽性的真實意義

prev, sens, spec = 0.02, 0.90, 0.95       # 盛行率、敏感度、特異度（教學假設）

# 公式：P(病|陽) = P(陽|病)P(病) / P(陽)
p_pos = sens * prev + (1 - spec) * (1 - prev)  # 全機率：真陽性 + 假陽性
post = sens * prev / p_pos
print(f"P(陽性) = {p_pos:.4f}")
print(f"P(患病 | 陽性) = {post:.4f}")

# 模擬 100,000 人驗證
N = 100_000
sick = rng.random(N) < prev
positive = np.where(sick, rng.random(N) < sens, rng.random(N) < 1 - spec)
print(f"\n模擬：陽性 {positive.sum():,} 人，其中真的患病 {(sick & positive).sum():,} 人")
print(f"模擬的 P(患病 | 陽性) = {(sick & positive).sum() / positive.sum():.4f}")

# 如果連續兩次快篩都陽性（假設兩次結果在給定病況下獨立）
p_pos2 = sens**2 * prev + (1 - spec)**2 * (1 - prev)
print(f"兩次都陽性時 P(患病 | 陽,陽) = {sens**2 * prev / p_pos2:.4f}")

執行結果：

P(陽性) = 0.0670
P(患病 | 陽性) = 0.2687

模擬：陽性 6,736 人，其中真的患病 1,822 人
模擬的 P(患病 | 陽性) = 0.2705
兩次都陽性時 P(患病 | 陽,陽) = 0.8686

說明：

• 公式算出 P(患病 | 陽性) ≈ 0.2687，和第三節的 10,000 人表格一致；模擬 10 萬人得到 0.2705，也非常接近。
• rng.random(N) 產生 N 個 0～1 之間的均勻亂數，< prev 就會有約 2% 為 True，這是模擬「機率為 p 的事件」最常用的技巧。np.where(條件, A, B) 則依每個人是否患病，套用不同的陽性機率。
• 若連續兩次快篩都陽性，患病機率大幅提高到約 0.87：第一次的事後機率，成為第二次的事前機率——這就是貝氏更新。

儲存格 6：二項分配——捷運誤點與「隨機抽同學」

# (a) 捷運誤點：X ~ B(20, 0.05)
n_days, p_late = 20, 0.05
X = stats.binom(n_days, p_late)
k = np.arange(0, 6)
table = pd.DataFrame({"誤點天數 k": k,
                      "P(X = k)": X.pmf(k).round(4),
                      "P(X ≤ k)": X.cdf(k).round(4)})
print(table.to_string(index=False))
print(f"P(X = 0) = {X.pmf(0):.4f}，P(X ≥ 2) = P(X > 1) = {X.sf(1):.4f}")
print(f"E(X) = {X.mean():.2f}，Var(X) = {X.var():.2f}，SD = {X.std():.4f}")

# 用 numpy 模擬 10 萬個月驗證
months = rng.binomial(n_days, p_late, size=100_000)
print(f"模擬 10 萬個月：P(X ≥ 2) ≈ {(months >= 2).mean():.4f}，平均 = {months.mean():.4f}")

# (b) students.csv：搭捷運的比例 p，隨機抽 5 位同學（取後放回）
p_mrt = (df["commute"] == "捷運").mean()
Y = stats.binom(5, p_mrt)
print(f"\np(捷運) = {p_mrt:.4f}；抽 5 人中搭捷運人數 Y ~ B(5, {p_mrt:.4f})")
print(f"P(Y = 0) = {Y.pmf(0):.4f}，P(Y ≥ 3) = {Y.sf(2):.4f}，E(Y) = {Y.mean():.4f}")

# 真的從資料中抽樣 20,000 次（每次抽 5 人、取後放回）
draws = rng.choice(df["commute"].to_numpy(), size=(20_000, 5), replace=True)
y_sim = (draws == "捷運").sum(axis=1)
print(f"實際抽樣模擬：P(Y = 0) ≈ {(y_sim == 0).mean():.4f}，P(Y ≥ 3) ≈ {(y_sim >= 3).mean():.4f}")

執行結果：

 誤點天數 k  P(X = k)  P(X ≤ k)
          0    0.3585    0.3585
          1    0.3774    0.7358
          2    0.1887    0.9245
          3    0.0596    0.9841
          4    0.0133    0.9974
          5    0.0022    0.9997
P(X = 0) = 0.3585，P(X ≥ 2) = P(X > 1) = 0.2642
E(X) = 1.00，Var(X) = 0.95，SD = 0.9747
模擬 10 萬個月：P(X ≥ 2) ≈ 0.2631，平均 = 0.9963

p(捷運) = 0.2667；抽 5 人中搭捷運人數 Y ~ B(5, 0.2667)
P(Y = 0) = 0.2121，P(Y ≥ 3) = 0.1219，E(Y) = 1.3333
實際抽樣模擬：P(Y = 0) ≈ 0.2081，P(Y ≥ 3) ≈ 0.1175

說明：

• stats.binom(n, p) 先建立一個分配物件，之後用 .pmf()、.cdf()、.sf()、.mean()、.var() 就不必每次重打參數。
• 一整個月都沒遇到誤點的機率只有約 36%；遇到 2 天以上的機率約 26%，所以「一個月誤點 2 次」其實沒有想像中倒楣，大約每 4 個月就會發生一次。
• rng.binomial(n, p, size=...) 直接產生二項分配的亂數，模擬結果和理論值幾乎一樣。
• (b) 從 students.csv 用 rng.choice(..., replace=True) 每次抽 5 人，正好符合二項分配的條件（取後放回 → 每次 p 相同、互相獨立），模擬結果與 B(5, 8／30) 的理論值吻合。若取後不放回，p 會隨抽取而改變，嚴格來說要用「超幾何分配」；當母體遠大於樣本時，兩者差異很小。

儲存格 7：卜瓦松分配——颱風個數，以及發票的二項 vs. 卜瓦松近似

# (a) 一年侵台颱風數 X ~ Poisson(3.5)（教學假設）
lam = 3.5
T = stats.poisson(lam)
k = np.arange(0, 9)
print(pd.DataFrame({"颱風數 k": k,
                    "P(X = k)": T.pmf(k).round(4),
                    "P(X ≤ k)": T.cdf(k).round(4)}).to_string(index=False))
print(f"P(X = 0) = {T.pmf(0):.4f}，P(X ≥ 5) = P(X > 4) = {T.sf(4):.4f}")
print(f"E(X) = {T.mean()}，Var(X) = {T.var()}")

years = rng.poisson(lam, size=100_000)
print(f"模擬 10 萬年：平均 = {years.mean():.4f}，變異數 = {years.var():.4f}")

# (b) 收集 200 張發票，中六獎的張數：二項 vs. 卜瓦松近似
n_inv, p6 = 200, 0.0027
B = stats.binom(n_inv, p6)
P = stats.poisson(n_inv * p6)
print(f"\n200 張發票中六獎張數（λ = np = {n_inv * p6:.2f}）")
for kk in range(4):
    print(f"k = {kk}：二項 {B.pmf(kk):.5f}　卜瓦松 {P.pmf(kk):.5f}")
print(f"至少中一張：二項 {B.sf(0):.5f}　卜瓦松 {P.sf(0):.5f}")

執行結果：

 颱風數 k  P(X = k)  P(X ≤ k)
        0    0.0302    0.0302
        1    0.1057    0.1359
        2    0.1850    0.3208
        3    0.2158    0.5366
        4    0.1888    0.7254
        5    0.1322    0.8576
        6    0.0771    0.9347
        7    0.0385    0.9733
        8    0.0169    0.9901
P(X = 0) = 0.0302，P(X ≥ 5) = P(X > 4) = 0.2746
E(X) = 3.5，Var(X) = 3.5
模擬 10 萬年：平均 = 3.5104，變異數 = 3.5094

200 張發票中六獎張數（λ = np = 0.54）
k = 0：二項 0.58232　卜瓦松 0.58275
k = 1：二項 0.31531　卜瓦松 0.31468
k = 2：二項 0.08494　卜瓦松 0.08496
k = 3：二項 0.01518　卜瓦松 0.01529
至少中一張：二項 0.41768　卜瓦松 0.41725

說明：

• 一年完全沒有颱風侵台的機率只有約 3%；一年 5 個以上的機率約 27%。注意 T.sf(4) 才是 P(X ≥ 5)。
• 模擬 10 萬年的平均數與變異數都接近 3.5，呼應卜瓦松分配「期望值 ＝ 變異數 ＝ λ」的特徵。實務上如果資料的變異數遠大於平均數，就代表卜瓦松模型可能不太適合。
• (b) n ＝ 200 很大、p ＝ 0.0027 很小，二項與卜瓦松的機率幾乎一模一樣（每個 k 的差異都不到 0.001）。收集 200 張發票，至少中一張六獎的機率約 42%。

儲存格 8：常態分配——用常態模型描述同學身高

h = df["height_cm"]
mu, sigma = h.mean(), h.std()
H = stats.norm(mu, sigma)
print(f"身高：平均 = {mu:.2f} 公分，標準差 = {sigma:.2f} 公分")

# 常態模型的預測 vs. 資料中實際的比例
print(f"P(身高 ≥ 175)：常態模型 {H.sf(175):.4f}，實際資料 {(h >= 175).mean():.4f}")
print(f"P(155 ≤ 身高 ≤ 170)：常態模型 {H.cdf(170) - H.cdf(155):.4f}，"
      f"實際資料 {h.between(155, 170).mean():.4f}")

# 68–95–99.7 法則：理論 vs. 資料
for m in [1, 2, 3]:
    theory = stats.norm.cdf(m) - stats.norm.cdf(-m)
    actual = ((h - mu).abs() <= m * sigma).mean()
    print(f"μ ± {m}σ = [{mu - m * sigma:6.2f}, {mu + m * sigma:6.2f}]："
          f"理論 {theory:.4f}，實際 {actual:.4f}")

執行結果：

身高：平均 = 164.21 公分，標準差 = 8.99 公分
P(身高 ≥ 175)：常態模型 0.1149，實際資料 0.1333
P(155 ≤ 身高 ≤ 170)：常態模型 0.5875，實際資料 0.5333
μ ± 1σ = [155.22, 173.20]：理論 0.6827，實際 0.5000
μ ± 2σ = [146.23, 182.18]：理論 0.9545，實際 1.0000
μ ± 3σ = [137.24, 191.17]：理論 0.9973，實際 1.0000

說明：

• stats.norm(mu, sigma) 的第二個參數是標準差 σ（不是變異數 σ²），這是初學者最常犯的錯誤之一。
• 常態模型預測身高 175 公分以上約占 11.5%，資料中實際是 4／30 ≈ 13.3%，相當接近。
• 以 μ ± 1σ、2σ、3σ 檢查：±2σ、±3σ 內的實際比例都是 100%，與 95%、99.7% 相去不遠；但 ±1σ 內只有 50%，明顯少於理論的 68%。原因是班上混合了男女生：女生多半在 150～165 公分、男生多半在 165～180 公分，資料在中間反而較少、兩側「肩膀」較多。
• 所以常態模型能抓住這份身高資料的大致範圍與尾端，但不夠精細；若分別對男生、女生各配一個常態分配會更貼切。只有 30 人時本來就會有落差，套用常態模型前，一定要先畫直方圖檢查（儲存格 10）。

儲存格 9：標準常態與 z 分數——cdf 與 ppf

# (a) 期中考 ~ N(62, 10²)，你考 78 分
exam_mu, exam_sd, score = 62, 10, 78
z = (score - exam_mu) / exam_sd
print(f"z = ({score} − {exam_mu}) / {exam_sd} = {z:.2f}")
print(f"P(Z ≤ {z:.2f}) = {stats.norm.cdf(z):.4f}（用 z 查標準常態）")
print(f"P(X ≤ {score}) = {stats.norm.cdf(score, exam_mu, exam_sd):.4f}（直接用原始分配，結果相同）")

# (b) 反過來：前 10% 要考幾分？→ ppf（cdf 的反函數）
cut = stats.norm.ppf(0.90, exam_mu, exam_sd)
print(f"前 10% 的門檻 = {cut:.2f} 分（z = {stats.norm.ppf(0.90):.4f}）")

# (c) 常用的 z 臨界值
for q in [0.90, 0.95, 0.975, 0.995]:
    print(f"P(Z ≤ z) = {q:<5} → z = {stats.norm.ppf(q):.3f}")

# (d) 用 z 分數比較不同單位：S001 的身高與零用錢，哪一項比較「突出」？
s001 = df.loc[df["student_id"] == "S001"].iloc[0]
for col in ["height_cm", "monthly_allowance"]:
    zc = (s001[col] - df[col].mean()) / df[col].std()
    print(f"S001 {col:<18} = {s001[col]:>8}，z = {zc:+.2f}")

執行結果：

z = (78 − 62) / 10 = 1.60
P(Z ≤ 1.60) = 0.9452（用 z 查標準常態）
P(X ≤ 78) = 0.9452（直接用原始分配，結果相同）
前 10% 的門檻 = 74.82 分（z = 1.2816）
P(Z ≤ z) = 0.9   → z = 1.282
P(Z ≤ z) = 0.95  → z = 1.645
P(Z ≤ z) = 0.975 → z = 1.960
P(Z ≤ z) = 0.995 → z = 2.576
S001 height_cm          =    164.8，z = +0.07
S001 monthly_allowance  =    13500，z = +0.90

說明：

• (a) 先算 z 再用 stats.norm.cdf(z)，和直接用 stats.norm.cdf(78, 62, 10) 結果完全相同——z 分數轉換只是換了尺度，機率不變。考 78 分約贏過 94.5% 的同學。
• (b) ppf() 是「給機率、求切點」：前 10% 等於左側面積 0.90，門檻約 74.8 分。
• (c) 這四個 z 值（1.282、1.645、1.960、2.576）在後面的信賴區間與假設檢定會一直出現，建議記起來。
• (d) S001 的身高幾乎就是平均（z ≈ 0.07），但零用錢 z ≈ +0.90，在班上相對偏高——z 分數讓「公分」和「元」可以放在同一把尺上比較。

儲存格 10：畫出四種分配

fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(11, 8))

# (a) 二項分配 B(20, 0.05)：捷運誤點天數
k = np.arange(0, 7)
axes[0, 0].bar(k, stats.binom.pmf(k, 20, 0.05), color="#4C72B0")
axes[0, 0].set_title("二項分配 B(20, 0.05)：每月捷運誤點天數")
axes[0, 0].set_xlabel("誤點天數 k")
axes[0, 0].set_ylabel("P(X = k)")

# (b) 卜瓦松分配 Poisson(3.5)：一年侵台颱風數，標出 X ≥ 5
k = np.arange(0, 12)
colors = ["#C44E52" if v >= 5 else "#55A868" for v in k]
axes[0, 1].bar(k, stats.poisson.pmf(k, 3.5), color=colors)
axes[0, 1].set_title(f"卜瓦松分配 Poisson(3.5)：紅色 P(X ≥ 5) = {stats.poisson.sf(4, 3.5):.3f}")
axes[0, 1].set_xlabel("一年侵台颱風數 k")
axes[0, 1].set_ylabel("P(X = k)")

# (c) 身高直方圖（密度）＋常態曲線
h = df["height_cm"]
xs = np.linspace(h.min() - 10, h.max() + 10, 200)
axes[1, 0].hist(h, bins=8, density=True, color="#8DA0CB", edgecolor="white", label="實際資料")
axes[1, 0].plot(xs, stats.norm.pdf(xs, h.mean(), h.std()), color="#C44E52", lw=2,
                label=f"N({h.mean():.1f}, {h.std():.2f}²)")
axes[1, 0].set_title("同學身高 vs. 常態分配")
axes[1, 0].set_xlabel("身高（公分）")
axes[1, 0].set_ylabel("密度")
axes[1, 0].legend()

# (d) 標準常態：中間 95% 與 z = 1.6 左側面積
zs = np.linspace(-4, 4, 400)
axes[1, 1].plot(zs, stats.norm.pdf(zs), color="black")
mid = (zs >= -1.96) & (zs <= 1.96)
axes[1, 1].fill_between(zs[mid], stats.norm.pdf(zs[mid]), color="#FFD966", label="−1.96 ≤ Z ≤ 1.96：95%")
axes[1, 1].axvline(1.6, color="#C44E52", linestyle="--", label=f"z = 1.6，左側面積 {stats.norm.cdf(1.6):.3f}")
axes[1, 1].set_title("標準常態分配 N(0, 1)")
axes[1, 1].set_xlabel("z")
axes[1, 1].set_ylabel("密度")
axes[1, 1].legend(loc="upper left", fontsize=9)

plt.tight_layout()
plt.savefig("unit03_charts.png", dpi=120)
plt.show()

說明：

• 左上二項分配：p 很小，所以分配右偏，最可能的值是 0 或 1 天（兩者機率差不多），2 天以上的長條迅速變矮。
• 右上卜瓦松分配：λ ＝ 3.5，最可能的颱風數是 3 個；紅色長條（5 個以上）加總約 0.27。卜瓦松分配同樣略微右偏。
• 左下身高：density=True 讓直方圖的總面積為 1，才能和常態曲線放在同一個尺度比較。長條高低不平，在 152～156 公分與 172～176 公分附近各有一個高峰（大致對應女生與男生），中間反而較低，並不像單一的鐘形——這正是儲存格 8 中 ±1σ 只有 50% 的原因。紅色常態曲線只能描述大致的中心與範圍。
• 右下標準常態：黃色區域是中間 95%（±1.96），紅色虛線 z ＝ 1.6 左側的面積約 0.945，也就是儲存格 9 期中考 78 分的 PR。

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八、本單元重點整理

• 機率的三種觀點：古典（結果等可能）、相對次數（長期比例，靠大數法則）、主觀（個人信心）。
• 基本規則：0 ≤ P(A) ≤ 1；P(Aᶜ) ＝ 1 − P(A)；「至少一次」先算「一次都沒有」。
• 加法規則：P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B) − P(A ∩ B)；互斥時交集為 0。
• 條件機率：P(A | B) ＝ P(A ∩ B) ／ P(B)，「分母變成 B 這一群」；獨立代表 P(A | B) ＝ P(A)，即 P(A ∩ B) ＝ P(A)P(B)。互斥 ≠ 獨立。
• 貝氏定理：事前機率很低時，即使檢驗準確，陽性結果的事後機率也可能不高。
• 期望值 E(X) ＝ Σ x·P(x) 是長期平均；變異數 Var(X) ＝ Σ (x − μ)²·P(x)。一張發票期望值約 1.08 元。
• 二項分配 B(n, p)：n 次獨立試驗的成功次數，E ＝ np、Var ＝ np(1 − p)。
• 卜瓦松分配 Poisson(λ)：固定時間內的事件次數，E ＝ Var ＝ λ；n 大 p 小時可近似二項。
• 常態分配 N(μ, σ²)：對稱鐘形，68–95–99.7 法則；z ＝ (x − μ) ／ σ 轉成標準常態。
• scipy.stats：pmf／pdf、cdf（≤）、sf（＞，離散要注意 ≥ 的轉換）、ppf（反查切點）；numpy 用 default_rng(seed) 的 integers、random、choice、binomial、poisson 做模擬。

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九、課後練習

第 1 題｜加法規則、條件機率與獨立
某班 40 位同學中，有 25 人訂閱 Netflix、18 人訂閱 Spotify，其中 10 人兩者都有訂閱。隨機選一位同學：
(a) 他至少訂閱其中一種的機率是多少？
(b) 已知他有訂閱 Netflix，他也有訂閱 Spotify 的機率是多少？
(c) 「訂閱 Netflix」與「訂閱 Spotify」是否獨立？請說明理由。

第 2 題｜期望值與標準差：夜市射氣球
夜市射氣球一局 100 元，獎品價值的機率分配如下：20% 得到價值 200 元的娃娃、5% 得到價值 500 元的大娃娃，其餘 75% 只有價值 0 元的安慰獎。
(a) 請計算獎品價值的期望值與標準差。
(b) 玩一局的「期望淨收益」（獎品價值 − 100 元）是多少？長期來看對誰有利？

第 3 題｜二項分配：選擇題全用猜的
某次小考有 10 題四選一的單選題，小明完全沒準備，每題都用猜的（各題獨立）。令 X 為答對題數。
(a) X 服從什麼分配？期望值與標準差是多少？
(b) 全部答錯的機率是多少？
(c) 答對 6 題以上（及格）的機率是多少？

第 4 題｜常態分配與 z 分數
某次全國模擬考數學成績近似常態分配，平均 55 分、標準差 15 分。
(a) 小華考 80 分，他的 z 分數是多少？大約贏過多少比例的考生？
(b) 要進入前 5%，至少要考幾分？
(c) 成績介於 40～70 分的考生大約占多少比例？

第 5 題｜numpy 模擬：今年會放颱風假嗎？
假設一年侵台颱風數 X ~ Poisson(3.5)，而每個侵台颱風讓你所在縣市放（至少一天）颱風假的機率是 0.4，各颱風互相獨立。請用 np.random.default_rng(3) 模擬 100,000 年，估計：
(a) 一年中「至少放一次颱風假」的機率；
(b) 平均每年放颱風假的「颱風個數」。
（加分題：理論上，放假颱風數服從 Poisson(3.5 × 0.4)，請用 scipy.stats 算出 (a) 的理論值並與模擬比較。）

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十、練習題參考答案

📝 建議先自己作答，再對照答案喔！

第 1 題
令 N ＝ 訂閱 Netflix，S ＝ 訂閱 Spotify。P(N) ＝ 25／40 ＝ 0.625，P(S) ＝ 18／40 ＝ 0.45，P(N ∩ S) ＝ 10／40 ＝ 0.25。
(a) P(N ∪ S) ＝ 0.625 ＋ 0.45 − 0.25 ＝ 0.825（40 人中有 33 人至少訂閱一種）。
(b) P(S | N) ＝ P(N ∩ S) ／ P(N) ＝ 0.25 ／ 0.625 ＝ 0.4（25 位 Netflix 訂戶中有 10 人也訂 Spotify）。
(c) 不獨立：P(S | N) ＝ 0.4 ≠ P(S) ＝ 0.45；或 P(N) × P(S) ＝ 0.28125 ≠ P(N ∩ S) ＝ 0.25。訂閱 Netflix 的人，訂閱 Spotify 的比例反而稍低。（差距不大，若樣本更大，可能接近獨立。）

第 2 題

import numpy as np

value = np.array([200, 500, 0])
prob = np.array([0.20, 0.05, 0.75])
ev = (value * prob).sum()
sd = np.sqrt(((value - ev) ** 2 * prob).sum())
print(f"機率總和 = {prob.sum()}")
print(f"獎品期望值 = {ev:.2f} 元，標準差 = {sd:.2f} 元")
print(f"一局期望淨收益 = {ev - 100:.2f} 元")

執行結果：

機率總和 = 1.0
獎品期望值 = 65.00 元，標準差 = 127.57 元
一局期望淨收益 = -35.00 元

(a) E(X) ＝ 200 × 0.20 ＋ 500 × 0.05 ＋ 0 × 0.75 ＝ 65 元；E(X²) ＝ 200² × 0.2 ＋ 500² × 0.05 ＝ 20,500，Var(X) ＝ 20,500 − 65² ＝ 16,275，σ ≈ 127.57 元。
(b) 期望淨收益 ＝ 65 − 100 ＝ −35 元：平均每玩一局「損失」35 元，長期來看對老闆有利。（當然，玩的樂趣不在期望值裡。）

第 3 題

from scipy import stats

X = stats.binom(10, 0.25)
print(f"E(X) = {X.mean()}，SD = {X.std():.4f}")
print(f"P(X = 0)  = {X.pmf(0):.4f}")
print(f"P(X ≥ 6)  = {X.sf(5):.4f}")

執行結果：

E(X) = 2.5，SD = 1.3693
P(X = 0)  = 0.0563
P(X ≥ 6)  = 0.0197

(a) X ~ B(10, 0.25)，E(X) ＝ 10 × 0.25 ＝ 2.5 題，SD ＝ √(10 × 0.25 × 0.75) ≈ 1.37 題。
(b) P(X ＝ 0) ＝ 0.75¹⁰ ≈ 0.0563，大約 5.6%。
(c) P(X ≥ 6) ＝ X.sf(5) ≈ 0.0197，不到 2%。用猜的想及格，機會非常渺茫——還是乖乖準備吧！注意要用 sf(5) 而不是 sf(6)。

第 4 題

from scipy import stats

mu, sd = 55, 15
z = (80 - mu) / sd
print(f"(a) z = {z:.4f}，P(X ≤ 80) = {stats.norm.cdf(z):.4f}")
print(f"(b) 前 5% 門檻 = {stats.norm.ppf(0.95, mu, sd):.2f} 分")
print(f"(c) P(40 ≤ X ≤ 70) = {stats.norm.cdf(70, mu, sd) - stats.norm.cdf(40, mu, sd):.4f}")

執行結果：

(a) z = 1.6667，P(X ≤ 80) = 0.9522
(b) 前 5% 門檻 = 79.67 分
(c) P(40 ≤ X ≤ 70) = 0.6827

(a) z ＝ (80 − 55) ／ 15 ≈ 1.67，P(Z ≤ 1.67) ≈ 0.952，大約贏過 95% 的考生（PR 約 95）。
(b) 前 5% 等於左側面積 0.95，z ＝ 1.645，門檻 ＝ 55 ＋ 1.645 × 15 ≈ 79.67 分，也就是至少要考 80 分。
(c) 40 和 70 分別是 μ − 1σ 與 μ ＋ 1σ，依 68–95–99.7 法則約 68%（精確值 0.6827）。

第 5 題

import numpy as np
from scipy import stats

rng5 = np.random.default_rng(3)
n_years = 100_000
typhoons = rng5.poisson(3.5, size=n_years)          # 每年侵台颱風數
holidays = rng5.binomial(typhoons, 0.4)             # 其中放颱風假的颱風數
print(f"(a) 模擬 P(至少放一次颱風假) = {(holidays >= 1).mean():.4f}")
print(f"(b) 模擬 平均每年放假颱風數   = {holidays.mean():.4f}")
print(f"加分：理論值 P(至少一次) = 1 − e^(−1.4) = {stats.poisson.sf(0, 3.5 * 0.4):.4f}，"
      f"平均 = {3.5 * 0.4:.1f}")

執行結果：

(a) 模擬 P(至少放一次颱風假) = 0.7537
(b) 模擬 平均每年放假颱風數   = 1.4024
加分：理論值 P(至少一次) = 1 − e^(−1.4) = 0.7534，平均 = 1.4

(a) 模擬結果約 0.75：大約每 4 年中有 3 年會放到颱風假。
(b) 平均每年約 1.4 個颱風讓你放假（＝ 3.5 × 0.4）。
加分題：理論值 1 − e^(−1.4) ≈ 0.7534，與模擬非常接近。rng5.binomial(typhoons, 0.4) 的 n 可以是一整個陣列——每一年用各自的颱風數當 n，這是 numpy 很方便的「向量化」寫法。

💡 小技巧：遇到公式很難推導的機率問題（例如颱風數和放假機率都隨機），先用模擬算出近似答案，往往是最快、最直覺的方法。這也是現代資料科學中「蒙地卡羅模擬」（Monte Carlo simulation）的精神。

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下一單元預告

本單元把常態分配當成描述「單一個體」（例如一位同學的身高）的模型。但如果我們隨機抽 30 位同學、計算「平均身高」，再重複抽很多次，這些「樣本平均數」本身又會形成什麼分配？為什麼就算原始資料像發票獎金那樣極度右偏，樣本平均數的分配還是會越來越像常態？單元 4 將用 numpy 大量模擬，帶你認識抽樣分配與統計學最重要的定理之一——中央極限定理。

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© SuhsiungAI學習教室（suhsiung.com）・統計應用課程・授課教師：蘇志雄。本單元範例資料 students.csv 為教學用虛構資料，與任何真實人物無關；統一發票、颱風、捷運誤點、快篩等例子中的數字，除另有說明外，皆為教學用假設或簡化，實際規則與統計請以政府機關公告為準。