統計應用｜單元 6：假設檢定——用資料回答「是不是真的有差？」

SuhsiungAI學習教室　授課教師：蘇志雄
適用對象：大學部・統計初學者　實作工具：Python（numpy、scipy.stats、pandas、matplotlib）
預估學習時間：講義閱讀 90 分鐘＋實作 90 分鐘
← 上一單元：單元 5：信賴區間——用一個區間說出「我們有多確定」

---

本單元學習目標

完成本單元後，你將能夠：

1. 寫出虛無假設 H0 與對立假設 H1，並分辨雙尾與單尾檢定。
2. 說明檢定統計量、p 值與顯著水準 α 的意義，並依 p 值做出結論。
3. 區分型一錯誤、型二錯誤與檢定力，知道樣本數與效果大小如何影響檢定力。
4. 用 scipy.stats 進行單一樣本 t 檢定、兩獨立樣本 Welch t 檢定、成對 t 檢定與比例 z 檢定。
5. 說明假設檢定與信賴區間的對應關係。
6. 了解多重檢定為什麼會讓「假陽性」暴增，以及 Bonferroni 校正。
7. 用 numpy 模擬型一錯誤率與檢定力，親眼驗證理論。

---

一、為什麼需要假設檢定？

單元 5 的信賴區間回答「μ 大概在哪裡？」。但很多問題是是非題：

• 😴 睡眠：大學生平均睡眠是否少於建議的 7 小時？
• 👫 性別差異：男生和女生的平均睡眠時數真的不同，還是只是抽樣的偶然？
• 📚 考試週：同一批同學在考試週是否睡得比較少？

假設檢定的邏輯像法庭的「無罪推定」：先假設「沒有效果、沒有差異」（被告無罪），除非資料提供的證據夠強，強到「如果真的沒差，這種結果很難出現」，才推翻這個假設。

---

二、假設檢定的五個步驟

💡 重點觀念：檢定統計量和信賴區間用的是同一個零件——標準誤。「差距是幾個標準誤？」差距越多個 SE，就越不像偶然。

雙尾與單尾

⚠️ 單尾或雙尾必須在看資料之前決定。看到雙尾 p ＝ 0.06 才改成單尾、讓 p 變成 0.03，是不誠實的作法。

---

三、p 值與顯著水準

p 值：在 H0 為真的前提下，得到目前這麼極端（或更極端）資料的機率。

p 值的常見誤解

---

四、型一錯誤、型二錯誤與檢定力

• α 由研究者事先設定；把 α 調小，型一錯誤變少，但型二錯誤會變多。
• 檢定力 1 − β 越高越好，通常希望 ≥ 80%。提高檢定力的方法：增加樣本數、真實差距較大、資料變異較小、使用成對設計、α 較大。

---

五、常用的檢定方法

⚠️ 成對資料一定要用成對 t。同一個人前後兩次測量並不獨立，把它當成兩組獨立樣本會忽略「個人差異」，檢定力大幅下降（儲存格 6 有示範）。

💡 Welch t 檢定在兩組變異數相等時表現也很好，因此建議預設使用 Welch（equal_var=False）。

---

六、假設檢定與信賴區間：一體兩面

在相同的 α 下，雙尾檢定與信賴區間的結論一定一致：

μ0 落在 95% 信賴區間之外 ⇔ 雙尾檢定 p ＜ 0.05

信賴區間的資訊更多：它不只告訴你「顯不顯著」，還告訴你差距大約有多大。報告時建議兩者並列。

---

七、多重檢定的陷阱

每個檢定在 H0 為真時都有 5% 機會誤判。如果同時做 20 個彼此獨立、其實都沒有差異的檢定，至少一個「顯著」的機率是：

1 − 0.95²⁰ ≈ 64%

這就是為什麼「把所有變數兩兩比一遍，挑顯著的寫成報告」（俗稱 p-hacking）會得到大量假陽性。最簡單的校正是 Bonferroni：做 m 個檢定時，每個檢定改用 α／m 當門檻。

---

八、Python 實作：檢定、模擬型一錯誤與檢定力

範例資料說明

本單元繼續使用單元 1～5 的 students.csv：30 位學生的「虛構」問卷資料（由程式隨機產生，非真實個資，人物與數值皆為虛構）。我們把這 30 人當成從全校抽出的樣本，檢定睡眠時數 sleep_hours、體溫 body_temp_c、運動次數 exercise_per_week 等。成對 t 檢定的「考試週睡眠時數」是以程式模擬的教學假設資料。

📥 下載範例資料：students.csv　｜　📥 完整程式碼：unit06.py

環境準備

本單元使用的套件和單元 5 相同。Google Colab 已內建；若在自己電腦執行，請先安裝：

pip install numpy scipy pandas matplotlib

把 students.csv 和程式放在同一個資料夾（使用 Colab 的同學，請先點左側📁圖示上傳 students.csv）。下面每一個程式區塊可以當成 Notebook 的一個儲存格（cell），請依序執行——因為所有模擬共用同一個亂數產生器，跳著執行會得到不同的數字。

儲存格 1：匯入套件與資料

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 讓圖表可以顯示繁體中文（依序嘗試 Windows / macOS / Linux 的字型）
plt.rcParams["font.sans-serif"] = [
    "Microsoft JhengHei", "PingFang TC", "Noto Sans CJK TC",
    "Noto Serif CJK TC", "Arial Unicode MS", "DejaVu Sans",
]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 讓負號正常顯示

pd.set_option("display.unicode.east_asian_width", True)
pd.set_option("display.width", 160)

# 固定種子，讓每次執行的模擬結果都一樣
rng = np.random.default_rng(2026)

df = pd.read_csv("students.csv", encoding="utf-8-sig")
sleep = df["sleep_hours"].to_numpy()
n = len(sleep)
print(f"n = {n}，x̄ = {sleep.mean():.4f} 小時，s = {sleep.std(ddof=1):.4f} 小時")

執行結果：

n = 30，x̄ = 6.6867 小時，s = 0.8858 小時

說明：30 位同學平均睡 6.69 小時，比建議的 7 小時少約 0.31 小時。這個差距是真的，還是抽樣的偶然？

儲存格 2：單一樣本 t 檢定——平均睡眠是 7 小時嗎？

# 單一樣本 t 檢定：全校平均睡眠是否等於建議的 7 小時？
# H0: μ = 7　　H1: μ ≠ 7（雙尾）
mu0 = 7
se = sleep.std(ddof=1) / np.sqrt(n)
t_stat = (sleep.mean() - mu0) / se
p_two = 2 * stats.t.sf(abs(t_stat), n - 1)
print(f"手算：t = ({sleep.mean():.4f} − {mu0}) / {se:.4f} = {t_stat:.4f}，df = {n - 1}，雙尾 p = {p_two:.4f}")
res = stats.ttest_1samp(sleep, popmean=mu0)
print(f"stats.ttest_1samp：t = {res.statistic:.4f}，p = {res.pvalue:.4f}")
# 單尾：H1: μ < 7（「大學生睡不夠」）
res_less = stats.ttest_1samp(sleep, popmean=mu0, alternative="less")
print(f"單尾（less）：p = {res_less.pvalue:.4f}")
alpha = 0.05
print("結論（α = 0.05，雙尾）：", "拒絕 H0" if res.pvalue < alpha else "無法拒絕 H0")

執行結果：

手算：t = (6.6867 − 7) / 0.1617 = -1.9375，df = 29，雙尾 p = 0.0625
stats.ttest_1samp：t = -1.9375，p = 0.0625
單尾（less）：p = 0.0312
結論（α = 0.05，雙尾）： 無法拒絕 H0

說明：

• t ≈ −1.94：樣本平均比 7 小時低了約 1.94 個標準誤。
• 雙尾 p ≈ 0.0625 ＞ 0.05，無法拒絕 H0：證據還不足以說全校平均不是 7 小時。
• 若研究前就決定只關心「是否睡不夠」（左尾），p ≈ 0.031 ＜ 0.05，可以拒絕 H0。這正說明單尾或雙尾要事先決定。

儲存格 3：檢定與信賴區間的對應

# 檢定與信賴區間是一體兩面：μ0 落在 95% CI 之外 ⇔ 雙尾 p < 0.05
lo, hi = res.confidence_interval(0.95)
print(f"95% CI = [{lo:.3f}, {hi:.3f}]；μ0 = 7 {'在' if lo <= 7 <= hi else '不在'}區間內")
for m0 in [6.3, 6.5, 7.0, 7.1]:
    p = stats.ttest_1samp(sleep, m0).pvalue
    print(f"μ0 = {m0}：p = {p:.4f}，{'在' if lo <= m0 <= hi else '不在'} CI 內")

執行結果：

95% CI = [6.356, 7.017]；μ0 = 7 在區間內
μ0 = 6.3：p = 0.0235，不在 CI 內
μ0 = 6.5：p = 0.2578，在 CI 內
μ0 = 7.0：p = 0.0625，在 CI 內
μ0 = 7.1：p = 0.0161，不在 CI 內

說明：95% CI 為 [6.356, 7.017]。μ0 ＝ 7.0、6.5 在區間內，p 都 ＞ 0.05；μ0 ＝ 6.3、7.1 在區間外，p 都 ＜ 0.05——兩種方法的結論完全一致。

儲存格 4：單一樣本 t 檢定——平均體溫是 37.0 °C 嗎？

# 單一樣本 t 檢定：平均體溫是否等於 37.0 °C？
temp = df["body_temp_c"].to_numpy()
r = stats.ttest_1samp(temp, 37.0)
print(f"x̄ = {temp.mean():.3f} °C，t = {r.statistic:.3f}，p = {r.pvalue:.2e}")

執行結果：

x̄ = 36.637 °C，t = -6.439，p = 4.81e-07

說明：樣本平均 36.64 °C，t ≈ −6.44，p 遠小於 0.05，拒絕 H0。在這份虛構資料中，平均體溫明顯低於 37.0 °C。

儲存格 5：兩獨立樣本 Welch t 檢定——男女睡眠時數

# 兩獨立樣本 t 檢定（Welch，不假設變異數相等）：男女平均睡眠時數是否不同？
male = df.loc[df["gender"] == "男", "sleep_hours"].to_numpy()
female = df.loc[df["gender"] == "女", "sleep_hours"].to_numpy()
print(f"男：n = {len(male)}，x̄ = {male.mean():.3f}，s = {male.std(ddof=1):.3f}")
print(f"女：n = {len(female)}，x̄ = {female.mean():.3f}，s = {female.std(ddof=1):.3f}")
w = stats.ttest_ind(male, female, equal_var=False)
print(f"Welch t = {w.statistic:.4f}，df = {w.df:.2f}，p = {w.pvalue:.4f}")
ci = w.confidence_interval(0.95)
print(f"μ男 − μ女 的 95% CI = [{ci.low:.3f}, {ci.high:.3f}]")
s_pooled = np.sqrt(((len(male) - 1) * male.var(ddof=1) + (len(female) - 1) * female.var(ddof=1)) / (n - 2))
print(f"效果量 Cohen's d = {(male.mean() - female.mean()) / s_pooled:.3f}")

執行結果：

男：n = 13，x̄ = 6.992，s = 0.682
女：n = 17，x̄ = 6.453，s = 0.969
Welch t = 1.7874，df = 27.86，p = 0.0848
μ男 − μ女 的 95% CI = [-0.079, 1.158]
效果量 Cohen's d = 0.629

說明：

• 男生平均多睡約 0.54 小時，但 p ≈ 0.085 ＞ 0.05，無法拒絕 H0；差值的 95% CI [−0.08, 1.16] 包含 0。
• Cohen’s d ≈ 0.63 屬於「中等」效果量——差距可能是真的，只是每組只有 13、17 人，檢定力不夠。「不顯著」不代表「沒有差異」。

儲存格 6：成對 t 檢定——考試週前後的睡眠（教學假設）

# 成對 t 檢定（教學假設資料）：同一批 30 人在期中考週前後的睡眠時數
before = sleep
after = np.round(sleep - rng.normal(0.4, 0.6, size=n), 1)   # 模擬：考試週平均少睡約 0.4 小時
d = before - after
pr = stats.ttest_rel(before, after)
print(f"差值 d = 前 − 後：平均 = {d.mean():.3f}，s_d = {d.std(ddof=1):.3f}")
print(f"成對 t = {pr.statistic:.4f}，p = {pr.pvalue:.6f}")
print(f"等同於對 d 做單一樣本 t：p = {stats.ttest_1samp(d, 0).pvalue:.6f}")
wrong = stats.ttest_ind(before, after, equal_var=False)
print(f"（錯誤示範）當成兩獨立樣本：p = {wrong.pvalue:.4f}")

執行結果：

差值 d = 前 − 後：平均 = 0.397，s_d = 0.477
成對 t = 4.5578，p = 0.000087
等同於對 d 做單一樣本 t：p = 0.000087
（錯誤示範）當成兩獨立樣本：p = 0.1087

說明：

• 成對 t 檢定的 p 極小，強烈拒絕 H0：考試週睡得比較少。它和「對差值 d 做單一樣本 t 檢定」完全相同。
• 錯誤示範：同一份資料當成兩獨立樣本，p ≈ 0.11，變成「不顯著」！因為個人之間睡眠時數差很多，遮蓋了前後的變化；成對設計把個人差異消掉了。

儲存格 7：比例的 z 檢定——運動比例是 50% 嗎？

# 比例的 z 檢定：每週運動 ≥ 3 次的比例是否等於 50%？
k = int((df["exercise_per_week"] >= 3).sum())
p0 = 0.5
p_hat = k / n
z = (p_hat - p0) / np.sqrt(p0 * (1 - p0) / n)   # 注意：檢定的 SE 用 p0，不是 p̂
p_z = 2 * stats.norm.sf(abs(z))
print(f"p̂ = {k}/{n} = {p_hat:.4f}，條件 n·p0 = {n * p0:.0f}、n(1−p0) = {n * (1 - p0):.0f}")
print(f"z = {z:.4f}，雙尾 p = {p_z:.4f}")
print(f"精確二項檢定 stats.binomtest：p = {stats.binomtest(k, n, p0).pvalue:.4f}")

執行結果：

p̂ = 10/30 = 0.3333，條件 n·p0 = 15、n(1−p0) = 15
z = -1.8257，雙尾 p = 0.0679
精確二項檢定 stats.binomtest：p = 0.0987

說明：

• 檢定時的標準誤用假設值 p0 計算（不是 p̂），條件也用 n·p0 ≥ 10 檢查。
• z ≈ −1.83，p ≈ 0.068，無法拒絕 H0。小樣本時建議參考精確二項檢定（p ≈ 0.099）。

儲存格 8：模擬型一錯誤率

# 模擬型一錯誤率：H0 為真（μ = 7）時，重複 10,000 次，p < 0.05 的比例
reps = 10_000
mu_true, sd_true, n_sim = 7.0, 0.9, 30
sims = rng.normal(mu_true, sd_true, size=(reps, n_sim))
pvals = stats.ttest_1samp(sims, 7.0, axis=1).pvalue
print(f"H0 為真時，拒絕 H0 的比例（型一錯誤率）= {(pvals < 0.05).mean():.4f}（理論 α = 0.05）")
print(f"p 值分配大致均勻：p < 0.1 的比例 = {(pvals < 0.1).mean():.4f}，p < 0.5 的比例 = {(pvals < 0.5).mean():.4f}")

執行結果：

H0 為真時，拒絕 H0 的比例（型一錯誤率）= 0.0514（理論 α = 0.05）
p 值分配大致均勻：p < 0.1 的比例 = 0.0977，p < 0.5 的比例 = 0.4957

說明：H0 為真時，10,000 次檢定中約 5.1% 誤判為顯著，和 α ＝ 0.05 吻合。而且 H0 為真時 p 值近似均勻分配：p ＜ 0.1 的比例約 10%，p ＜ 0.5 約 50%。

儲存格 9：模擬檢定力

# 模擬檢定力：真實 μ = 6.7（比 7 少 0.3 小時）時，不同 n 拒絕 H0 的比例
rows = []
for nn in [10, 20, 30, 50, 100]:
    smp = rng.normal(6.7, sd_true, size=(5_000, nn))
    pw = (stats.ttest_1samp(smp, 7.0, axis=1).pvalue < 0.05).mean()
    rows.append({"n": nn, "檢定力（模擬）": pw, "型二錯誤率 β": 1 - pw})
print(pd.DataFrame(rows).round(4).to_string(index=False))

執行結果：

  n  檢定力（模擬）  型二錯誤率 β
 10          0.1558        0.8442
 20          0.3022        0.6978
 30          0.4156        0.5844
 50          0.6400        0.3600
100          0.9120        0.0880

說明：真實平均其實是 6.7 小時（比 7 少 0.3 小時）。n ＝ 30 時，只有約 42% 的機會偵測到差異，型二錯誤率高達約 58%；n ＝ 100 時檢定力才超過 90%。這解釋了儲存格 2 為什麼「不顯著」。

儲存格 10：多重檢定的假陽性

# 多重檢定：同時檢定 20 個「其實沒有差異」的假設，至少一個 p < 0.05 的機率
m_tests = 20
print(f"理論：1 − 0.95^{m_tests} = {1 - 0.95 ** m_tests:.4f}")
sim = rng.normal(0, 1, size=(2_000, m_tests, 15)), rng.normal(0, 1, size=(2_000, m_tests, 15))
pv = stats.ttest_ind(sim[0], sim[1], axis=2).pvalue
print(f"模擬：至少一個 p < 0.05 的比例 = {(pv < 0.05).any(axis=1).mean():.4f}")
print(f"Bonferroni（門檻 0.05/{m_tests} = {0.05 / m_tests}）：比例 = {(pv < 0.05 / m_tests).any(axis=1).mean():.4f}")

執行結果：

理論：1 − 0.95^20 = 0.6415
模擬：至少一個 p < 0.05 的比例 = 0.6435
Bonferroni（門檻 0.05/20 = 0.0025）：比例 = 0.0600

說明：20 個其實都沒有差異的檢定，至少一個 p ＜ 0.05 的機率約 64%，模擬結果相符。用 Bonferroni 門檻 0.0025 後，降到約 6%，接近原本的 5%。

儲存格 11：畫出假設檢定

fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(13, 9))

# 左上：單一樣本 t 檢定的拒絕域與觀察到的 t
ax = axes[0, 0]
ts = np.linspace(-4, 4, 400)
ax.plot(ts, stats.t.pdf(ts, n - 1), color="black", lw=2, label=f"H0 下的 t 分配（df = {n - 1}）")
tc = stats.t.ppf(0.975, n - 1)
for side in [ts <= -tc, ts >= tc]:
    ax.fill_between(ts[side], stats.t.pdf(ts[side], n - 1), color="#C44E52", alpha=0.5)
ax.fill_between(ts[ts <= -abs(t_stat)], stats.t.pdf(ts[ts <= -abs(t_stat)], n - 1), color="#4C72B0", alpha=0.4, label="p 值面積（雙尾）")
ax.fill_between(ts[ts >= abs(t_stat)], stats.t.pdf(ts[ts >= abs(t_stat)], n - 1), color="#4C72B0", alpha=0.4)
ax.axvline(t_stat, color="#4C72B0", linestyle="--", label=f"觀察 t = {t_stat:.2f}")
ax.set_title(f"睡眠 μ0 = 7：紅色為拒絕域（|t| > {tc:.3f}），p = {res.pvalue:.3f}")
ax.set_xlabel("t")
ax.set_ylabel("密度")
ax.legend(fontsize=9)

# 右上：H0 為真時 p 值的分配（均勻）
ax = axes[0, 1]
ax.hist(pvals, bins=20, range=(0, 1), color="#8DA0CB", edgecolor="white")
ax.hist(pvals[pvals < 0.05], bins=1, range=(0, 0.05), color="#C44E52", label=f"p < 0.05：{(pvals < 0.05).mean():.1%}")
ax.set_title("H0 為真時，10,000 個 p 值近似均勻分配")
ax.set_xlabel("p 值")
ax.set_ylabel("次數")
ax.legend(fontsize=9)

# 左下：檢定力曲線
ax = axes[1, 0]
ns = np.arange(5, 151, 5)
for diff, color in [(0.2, "#8DA0CB"), (0.3, "#4C72B0"), (0.5, "#1A4E80")]:
    dd = diff / sd_true
    pw = [stats.nct.sf(stats.t.ppf(0.975, k_ - 1), k_ - 1, dd * np.sqrt(k_)) + stats.nct.cdf(-stats.t.ppf(0.975, k_ - 1), k_ - 1, dd * np.sqrt(k_)) for k_ in ns]
    ax.plot(ns, pw, color=color, lw=2, label=f"真實差距 {diff} 小時")
ax.axhline(0.8, color="gray", linestyle=":", label="常用目標 80%")
ax.axhline(0.05, color="#C44E52", linestyle=":", label="α = 0.05")
ax.set_title("檢定力：差距越大、樣本越多，越容易偵測（σ = 0.9）")
ax.set_xlabel("樣本數 n")
ax.set_ylabel("檢定力 1 − β")
ax.legend(fontsize=9)

# 右下：男女睡眠時數與成對差值
ax = axes[1, 1]
ax.boxplot([male, female, d], tick_labels=["男 睡眠", "女 睡眠", "成對差值 前 − 後"])
ax.axhline(0, color="gray", lw=0.8)
ax.set_title(f"Welch p = {w.pvalue:.3f}；成對 p = {pr.pvalue:.1e}")
ax.set_ylabel("小時")

plt.tight_layout()
plt.savefig("unit06_charts.png", dpi=120)
plt.show()

圖表解讀：

• 左上：紅色是 α ＝ 0.05 的拒絕域；觀察到的 t ＝ −1.94 沒有落入拒絕域，藍色的 p 值面積約 0.062。
• 右上：H0 為真時，p 值平均散布在 0～1 之間，最左邊紅色那一格（約 5%）就是型一錯誤。
• 左下：檢定力曲線，差距越大、樣本越多，越容易偵測；差距 0.3 小時要約 75 人才達 80% 檢定力。
• 右下：男女睡眠時數分布重疊很多；成對差值則明顯在 0 以上。

---

九、本單元重點整理

---

十、練習題

第 1 題｜身高的單一樣本 t 檢定
用 students.csv 的 height_cm，檢定全校平均身高是否為 165 cm（雙尾，α ＝ 0.05），並寫出 H0、H1、t、p 與結論，再與 95% CI 對照。

第 2 題｜生活費的 Welch t 檢定
男女的平均每月生活費 monthly_allowance 是否不同？請用 Welch t 檢定並下結論。

第 3 題｜比例檢定
某手搖飲店宣稱「超過一半的大學生最愛珍奶」。隨機訪問 100 位大學生，58 人最愛珍奶（教學假設）。
(a) 計算 z 值。
(b) 分別計算雙尾與右尾 p 值。依店家的宣稱，該用哪一個？結論是什麼？

第 4 題｜檢定力模擬
真實平均睡眠 6.7 小時、σ ＝ 0.9（教學假設），用左尾檢定 H0：μ ＝ 7、H1：μ ＜ 7、α ＝ 0.05。用種子 6 模擬 10,000 次，估計 n ＝ 30 與 n ＝ 80 的檢定力。

第 5 題｜觀念題：判斷對錯
(a) p ＝ 0.20，表示 H0 為真的機率是 20%。
(b) 無法拒絕 H0，就證明了兩組平均數相等。
(c) α 設得越小，型二錯誤的機率通常越大。
(d) 研究者比較 30 對變數，找到 2 個 p ＜ 0.05，就應該把這 2 個當成重要發現發表。
(e) 同一批學生上課前後的測驗成績，應該用成對 t 檢定。

---

十一、練習題參考答案

📝 建議先自己作答，再對照答案喔！

第 1 題

import pandas as pd
from scipy import stats

df1 = pd.read_csv("students.csv", encoding="utf-8-sig")
h = df1["height_cm"]
r1 = stats.ttest_1samp(h, 165)
ci1 = r1.confidence_interval(0.95)
print(f"x̄ = {h.mean():.2f}，t = {r1.statistic:.4f}，df = {len(h) - 1}，p = {r1.pvalue:.4f}")
print(f"95% CI = [{ci1.low:.2f}, {ci1.high:.2f}]")

執行結果：

x̄ = 164.21，t = -0.4834，df = 29，p = 0.6324
95% CI = [160.85, 167.56]

H0：μ ＝ 165；H1：μ ≠ 165。t ≈ −0.48，p ≈ 0.63 ＞ 0.05，無法拒絕 H0，沒有足夠證據說平均身高不是 165 cm。95% CI [160.85, 167.56] 包含 165，結論一致。

第 2 題

import pandas as pd
from scipy import stats

df2 = pd.read_csv("students.csv", encoding="utf-8-sig")
g = df2.groupby("gender")["monthly_allowance"]
print(g.agg(["count", "mean", "std"]).round(1).to_string())
r2 = stats.ttest_ind(df2.loc[df2["gender"] == "男", "monthly_allowance"],
                     df2.loc[df2["gender"] == "女", "monthly_allowance"], equal_var=False)
print(f"Welch t = {r2.statistic:.4f}，df = {r2.df:.2f}，p = {r2.pvalue:.4f}")

執行結果：

        count     mean     std
gender                        
女         17  10205.9  3428.1
男         13  10615.4  3658.1
Welch t = 0.3122，df = 25.05，p = 0.7575

男生平均只多約 410 元，Welch t ≈ 0.31、p ≈ 0.76，無法拒絕 H0。資料沒有顯示男女生活費有差異（但也不能「證明」相等）。

第 3 題

import numpy as np
from scipy import stats

k3, n3, p0 = 58, 100, 0.5
z3 = (k3 / n3 - p0) / np.sqrt(p0 * (1 - p0) / n3)
print(f"z = {z3:.3f}")
print(f"雙尾 p = {2 * stats.norm.sf(abs(z3)):.4f}，單尾（H1: p > 0.5）p = {stats.norm.sf(z3):.4f}")

執行結果：

z = 1.600
雙尾 p = 0.1096，單尾（H1: p > 0.5）p = 0.0548

(a) z ＝ (0.58 − 0.5)／√(0.25／100) ＝ 1.6。
(b) 店家宣稱「超過一半」，H1：p ＞ 0.5，應事先選右尾：p ≈ 0.055 ＞ 0.05，無法拒絕 H0，證據還不足以支持店家的宣稱（雙尾 p ≈ 0.11 也一樣）。

第 4 題

import numpy as np
from scipy import stats

rng4 = np.random.default_rng(6)
for nn in [30, 80]:
    smp = rng4.normal(6.7, 0.9, size=(10_000, nn))
    pw = (stats.ttest_1samp(smp, 7.0, axis=1, alternative="less").pvalue < 0.05).mean()
    print(f"n = {nn}：單尾檢定力 ≈ {pw:.3f}")

執行結果：

n = 30：單尾檢定力 ≈ 0.557
n = 80：單尾檢定力 ≈ 0.900

左尾檢定把 α 全部放在一側，比雙尾更容易偵測同方向的差異：n ＝ 30 時檢定力約 56%（雙尾約 42%），n ＝ 80 時約 90%。

第 5 題

(a) 錯。p 值是「假設 H0 為真時」資料的機率，不是 H0 的機率。
(b) 錯。只代表證據不足，可能是檢定力不夠。
(c) 對。α 越小越難拒絕 H0，在 H0 為假時就越容易犯型二錯誤。
(d) 錯。30 個檢定在全部 H0 為真時，平均也會有 1.5 個 p ＜ 0.05；應做多重檢定校正（Bonferroni 門檻 0.05／30 ≈ 0.0017）或用新資料重新驗證。
(e) 對。同一批人的前後測量彼此相關，屬於成對資料。

💡 小技巧：設計研究前，先模擬檢定力（像儲存格 9 和第 4 題），決定需要多少樣本，比事後才發現「不顯著」更有效率。

---

下一單元預告

t 檢定一次只能比較兩組。如果想比較三個以上的系所、年級的平均睡眠時數呢？兩兩做 t 檢定會掉進多重檢定的陷阱。單元 7 將介紹變異數分析 ANOVA：用一個 F 檢定同時比較多組平均數，並學習事後比較（post-hoc）方法。

← 回到單元 5：信賴區間——用一個區間說出「我們有多確定」

👉 單元 7：變異數分析 ANOVA

---

© SuhsiungAI學習教室（suhsiung.com）・統計應用課程・授課教師：蘇志雄。本單元範例資料 students.csv 為教學用虛構資料，與任何真實人物無關；考試週睡眠時數、珍奶調查、模擬母體等例子中的數字，除另有說明外，皆為教學用假設或簡化，不代表任何真實店家、機構或研究結果。